事件的关系和运算
新课程标准解读 核心素养
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算 数学抽象、数学建模
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}；F＝{出现的点数大于4}；G＝{出现的点数为偶数}；H＝{出现的点数为奇数}．
[问题] (1)在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？
(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？
(3)事件C1与事件C2间有什么关系？
(4)事件E与事件F间有什么关系？
知识点 事件的关系和运算
1．包含关系
定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义 A发生导致B发生
符号表示 BA(或AB)
图形表示
特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作A＝B
2.并事件(和事件)
定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少一个发生
符号表示 A∪B(或A＋B)
图形表示
3.交事件(积事件)
定义 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号表示 A∩B(或AB)
图形表示
4.互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
5．互为对立
定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
图形表示
互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
对于三个事件A，B，C至少有一个发生如何用符号表示？同时发生如何表示？
提示：至少有一个发生可表示为A∪B∪C(或A＋B＋C)；
同时发生可表示为A∩B∩C(或ABC)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件．( )
(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )
(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( )
(4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
解析：选B 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
4．袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；红、黑球各1个
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；都是白球
解析：选A 至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件．
事件的运算
[例1] (链接教科书第232页例6)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．问：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球，故C∩A＝A.
进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[跟踪训练]
从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回)，假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k＝1，2，3)，试用A1，A2，A3表示下列事件：
(1)三次全取到次品；
(2)只有第一次取到次品；
(3)三次中恰有两次取到次品；
(4)三次中至多有一次取到次品．
解：(1)A1A2A3 (2)A1 (3)A1A2∪A1A3∪A2A3 (4)A1∪A3∪A2∪
互斥事件与对立事件的判断
[例2] 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与C；(3)B与D；(4)B与E；(5)A与E.
[解] (1) 由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(5)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与E是互斥事件．但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：
(1)从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
[跟踪训练]
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
解析：选A 事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
2．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个
事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆相继发布了本省市高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．
[问题探究]
1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件．
提示：A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，
B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．
则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，
所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．
2．在第1题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．
提示：由第1题可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，
事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，
所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件．
[迁移应用]
某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表：
学生 在职人员 退休人员
满意 75 y 78
不满意 5 z 12
若y≥70，z≥2，基本事件用(y，z)表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数．
解：∵学生人数为80，退休人员人数为90，
∴在职人员人数为250－80－90＝80，
∴y＋z＝80.
又∵y≥70，z≥2，∴样本空间Ω＝{(70，10)，(71，9)，(72，8)，(73，7)，(74，6)，(75，5)，(76，4)，(77，3)，(78，2)}，样本点的个数为9.
1．若干人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
解析：选A 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝______．
解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，
F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，
∴E∩F＝{向上的点数为2}．
答案：{向上的点数为2}
3．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2020年后出版的书}．问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
(4)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
解：(1)A∩B∩＝{2020年或2020年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A.
(3) B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的．
(4)是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书．
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9(共34张PPT)事件的关系和运算
[A级 基础巩固]
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
解析：选A 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件．
2．(多选)下列各组事件中是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选ACD 对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．
3．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．B与C
C．A与D D．B与D
解析：选C A与B是对立事件，故A错误；B与C能同时发生，所以B与C不是互斥事件，故B错误；A与D不能同时发生，且不是对立事件，所以A与D是互斥事件但不是对立事件，故C正确；B与D能同时发生，所以B与D不是互斥事件，故D错误．
4．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
解析：选ABC “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪C≠B∪D，故D不正确，易知A、B、C正确．
5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”( )
A．是对立事件 B．互斥且对立
C．互斥但不对立 D．不是互斥事件
解析：选C 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，所以这两个事件不是对立事件．故选C.
6．打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示________．
解析：A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次．
答案：至少有一次击中
7．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.
解析：当事件B发生时，H必然发生，故B H；同理D J，E I，而事件A与G相等，即A＝G.
答案： ＝
8．在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为______________，事件A∩B的含义为____________．
解析：易知＝“出现6点”，则A∪＝“出现2,4,6点”，A∩B＝“出现2,4点”．
答案：出现2,4,6点 出现2,4点
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是互为对立：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两事件都不发生，所以它们不是互为对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是互为对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
10．掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
解：(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，
B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
AC＝{出现1点}．
[B级 综合运用]
11．如果事件M与N是互斥事件，那么( )
A．M＋N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.＋是必然事件
解析：选D 因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况，无论哪种情况，＋是必然事件．
12．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．已知某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
解析：选A 事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．
13．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：
①“恰有1件次品”和“2件都是次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”．
其中互斥事件有________(填序号)．
解析：对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件．
答案：①④
14．一个袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事件A，“摸出的两球是白球”为事件B，“摸出的两球是一红一白”为事件C，“摸出的两球至少有一个是红球”为事件D，“摸出的两球至少有一个是白球”为事件E.则：
(1)若事件A发生，事件D发生吗？它们是什么关系？
(2)若事件C发生，则事件D会发生吗？事件A，C，D之间有何关系？
(3)若事件C发生，那么事件E会发生吗？事件C，D，E又有何关系？
(4)事件A与事件B能同时发生吗？事件A与事件E能同时发生吗？事件A与事件E的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？
解：(1)事件A发生，则事件D一定发生；它们是包含关系．
(2)事件C发生，则事件D一定会发生；事件D包含事件A和事件C两个事件．
(3)若事件C发生，那么事件E一定会发生；事件D、事件E均包含事件C.
(4)事件A与事件B不能同时发生；事件A与事件E也不能同时发生；A∪E是必然事件；A∩E是不可能事件．
[C级 拓展探究]
15．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”．
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解：试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}．所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}．
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}．因为A∩B＝{(1，5)}≠ ，A∩C＝{(1，4)}≠ ，B∩C＝ ，所以事件A与事件B，事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件．
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
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