(共30张PPT)有限样本空间与随机事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义 数学抽象
2.理解随机事件与样本点的关系 数学建模
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球．
[问题] 观察该球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？
知识点一 随机试验及样本空间
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母表示；
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
对样本点和样本空间的再理解
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．
1．随机试验可以重复吗？
提示：可以重复．
2．如何确定试验的样本空间？
提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的．( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}((1，2)表示抽出标有1，2的两张卡片)．
(2)样本点的总数是10.
(3)“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：(1，4)，(2，3)．
知识点二 三种事件的定义
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
1．(多选)下列事件中是随机事件的是( )
A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1 ℃结冰
D．买一注彩票中了特等奖
解析：选AD A、D是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件．
2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
解析：选D 将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．
3．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是( )
A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数
C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质
解析：选C 从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．
事件类型的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)没有空气和水，人类可以生存下去；
(3)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(4)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解] (1)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(2)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(3)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．
(4)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
判断一个事件是哪类事件的方法
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[跟踪训练]
给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
解析：选C ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确.
确定试验的样本空间
[例2] (链接教科书第227页例1、例2、例3)下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．
[解] (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏；
(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
[跟踪训练]
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”．
解：(1)画树状图如图所示．
因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点．
故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.
随机事件的含义
[例3] (链接教科书第228页例4)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间Ω；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．
[解] (1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)这个试验的结果的个数为36.
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
[母题探究]
(变设问)根据例3中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义．
解：事件“出现的点数之和大于8”的所有样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同．
1．判断随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．当试验中的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
[跟踪训练]
用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义．
(1)A＝{X＝8}；
(2)B＝{1≤X≤9}；
(3)C＝{X≥1}；
(4)D＝{X<1}．
解：(1)A＝{X＝8}表示“恰有8次命中目标”．
(2)B＝{1≤X≤9}表示“命中目标次数为1到9次”．
(3)C＝{X≥1}表示“命中目标次数为1到10次”．
(4)D＝{X<1}表示“没有一次命中目标”．
1．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C 事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C.
2．下列事件中必然事件为________，不可能事件为________，随机事件为________(填序号)．
①13个人中至少有两个人生肖相同；
②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；
③函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
解析：因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为0＜a＜1，所以函数y＝logax在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件．
答案：① ③ ②④
3．同时转动如图所示的两个转盘，记结果为(x，y)，其中x是转盘①中指针所指的数字，y是转盘②中指针所指的数字．
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件A＝“x≤4，y>1”，事件B＝“x≤3，y>1”．
解：(1)样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)易知A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}．
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7有限样本空间与随机事件
[A级 基础巩固]
1．下列事件中随机事件的个数为( )
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由题知①③为随机事件，②④为不可能事件．故选B.
2．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个不同的数，则事件“这3个数的和不小于6”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
解析：选A 从所给的10个数中，任取3个不同的数，其和最小为6.故事件“这3个数的和不小于6”为必然事件，故选A.
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
解析：选B 依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.
4．先后抛掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：选A “至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”，“五角、一元都向上”三个样本点，故选A.
5．在10名学生中，男生有x人，现从10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有一名女生；
②5名男生，1名女生；
③3名男生，3名女生．
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
解析：选C 由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故选C.
6．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有________个．
解析：样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，共3个．
答案：3
7．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．
答案：随机
8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 5
9．从1，2，3，5中任取两个不同的数字作为一次函数y＝－x中的A，B，请写出这个试验的样本空间，及“－大于－1”这一事件所包含的样本点．
解：从1，2，3，5中任取两个不同的数字可构成有序实数对(A，B)，其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，
则这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}．
若－＞－1，则＜1.
因为A，B均为正数，所以A＜B.
因此，“－大于－1”这一事件包含以下6个样本点： (1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，3)，(2，5)，(3，5)．
10．在所有考试中，小明同学的语文、数字、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况，请写出该试验的样本空间，并用集合表示下列事件：A＝“至少有两科成绩为优秀”；B＝“三科成绩不都相同”．
解：分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为{x1，x2，x3}．用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}．
该试验的样本空间可表示为Ω＝{(x1，x2，x3)|x1，x2，x3∈{0，1}}，
用列举法表示为Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．
A＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}；
B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．
[B级 综合运用]
11．(多选)下列事件是随机事件的是( )
A．函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称
B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C．直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号
解析：选BCD A为必然事件；B、C、D为随机事件；对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
12．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x B，则x A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.
13．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件(填序号)．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于9.
答案：③④ ② ①
14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题．
解：(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，
A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
[C级 拓展探究]
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
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