(共26张PPT)总体离散程度的估计
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差) 数据分析
2.理解离散程度参数的统计含义 数学运算
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如表所示)检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2.
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
[问题] 哪种钢筋的质量较好？
知识点 总体离散程度的估计
1．平均距离
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－|(i＝1,2，…，n)作为xi到的“距离”．可以得到这组数据x1，x2，…，xn到的“平均距离”为xi－|.
2．方差、标准差
绝对值改用平方来代替，即(xi－)2＝－2，我们称为这组数据的方差．取它的算术平方根，即 ，我们称为这组数据的标准差．
3．总体方差、总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频率为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
4．样本方差、样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差．
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；
(2)标准差、方差的取值范围[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分解程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
数据的标准差大小与数据的离散程度有什么关系？
提示：标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )
(2)数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定．( )
(3)数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 由s2＝－2，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1.
3．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派________参赛最为合适．
解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
答案：丙
标准差、方差的计算与应用
[例1] (链接教科书第214页练习4题)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
[解] (1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
所以甲<乙，即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8(cm2)．
所以s用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
[跟踪训练]
甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
其中产量比较稳定的冬小麦品种是________．
解析：甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10(t/km2)，
乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10(t/km2)，
即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为 10 t/km2.
s＝×(0.04＋0.01＋0.01＋0＋0.04)＝0.02，
s＝×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244，
即s答案：甲
分层随机抽样的方差
[例2] (链接教科书第212页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
[解] 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s乙＋(乙－)2]
＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2.
[跟踪训练]
在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1.)
解：把甲同学抽取的样本的平均数记为x，方差记为s；把乙同学抽取的样本的平均数记为y，方差记为s；把合在一起后的样本的平均数记为a，方差记为s2.
则＝≈5.4，
s2＝
＝
≈12.4.
即样本的平均数为5.4，方差为12.4.
1．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．平均数 B．标准差
C．众数 D．中位数
解析：选B 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
2．若样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为16，则数据x1，x2，…，x10的标准差为________．
解析：设数据x1，x2，…，x10的标准差为s，∵样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为16，∴4s2＝162，解得s＝8.
答案：8
3．为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________．
解析：样本均值＝＝90.2，
样本方差s2＝
＝4.76.
答案：90.2 4.76
4．甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据分别为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
解：(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，因为s＞s，
故乙机床加工零件的质量更稳定．
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6总体离散程度的估计
[A级 基础巩固]
1．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
解析：选ABC 甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；s＝191>110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．
2．若某组数据的方差s2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋…＋(x6－3)2]，则x1＋x2＋x3＋…＋x6＝( )
A．3 B．6
C．18 D．36
解析：选C 由方差公式可知，6个数据的平均数是3，
∴x1＋x2＋x3＋…＋x6＝6×3＝18.
3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 由题可知样本的平均数为1，
所以＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为
s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.
4．已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是( )
解析：选D 选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大．
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
解析：选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.
6．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
解析：这组数据的平均数＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
答案：0.1
7．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．
解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，
∴＝5，∴x＝6.
∴这组数据的平均数是＝5，
这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.
答案：5
8．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．
解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.8－1.2)2]＋[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98.
答案：117.98
9．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙的平均成绩谁最好？
(2)谁的各门功课发展较平衡？
解：(1)甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，
甲>乙，故甲的平均成绩较好．
(2)s＝×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，
s＝×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，
由s>s，知乙的各门功课发展较平衡．
10．某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的数据如下：
甲校：96,112,97,108,100,103,86,98；
乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；
(3)根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？
解：(1)甲学校人民满意度测评数据的平均数为
甲＝×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，
中位数为＝99，
乙学校人民满意度测评数据的平均数为
乙＝×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，
中位数为＝99.
(2)甲学校人民满意度测评数据的方差：
s＝×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，
乙学校人民满意度测评数据的方差：
s＝×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.
(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好．
[B级 综合运用]
11．(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是( )
A．乙的记忆能力优于甲
B．乙的观察能力优于创造能力
C．甲的六大能力整体水平优于乙
D．甲的六大能力比乙较均衡
解析：选BCD 由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；甲的六大能力指标值的方差为s＝，乙的六大能力指标值的方差为s＝，所以s12．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
解析：选B 甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]＜1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＜3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2，2，6，不符合题意．故选B.
13．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________，________．
解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变．设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.
答案：70 50
14．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
高＝＝45(岁)，
年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]
＝20.64.
[C级 拓展探究]
15．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
频数 6 26 38 22 8
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解：(1)补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
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