(共27张PPT)总体集中趋势的估计
[A级 基础巩固]
1．某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
解析：选A ∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，
∴中位数是＝91.5，
平均数＝＝91.5.
2．某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成如下频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )
分组 [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
A．80 B．81
C．82 D．83
解析：选C 平均分＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，故选C.
3．下面是某实验中学某班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800 m跑的成绩折线图(如图所示)，则这5位同学立定跳远的中位数，跳绳的平均数，800 m跑的众数分别是( )
A．1.98，131，3.88 B．1.87，130，3.88
C．1.98，130，3.88 D．1.98，130，3.65
解析：选C 由图中数据，可得立定跳远的中位数为1.98，跳绳的平均数为×[(130－1)＋(130＋5)＋(130－7)＋(130＋2)＋(130＋1)]＝×130×5＝130，800 m跑的众数为3.88.故选C.
4．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A. B.
C. D．
解析：选B x1，x2，x3的平均数为a，则x1，x2，x3的和为3a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则x4，x5，x6，…，x10的和为7b，∴样本数据的和为3a＋7b，∴样本数据的平均数为，故选B.
5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．
解析：数据的和相差了165－105＝60，平均相差＝2，故求出的平均数与实际平均数相差2.
答案：2
6．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间(分钟) [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________．
解析：＝×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.
答案：9.5
7．若有一个企业，70%的员工年收入1万元，25%的员工年收入3万元，5%的员工年收入11万元，则该企业员工的年收入的平均数是________万元，中位数是________万元，众数是________万元．
解析：年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万元)．因为70%的员工年收入1万元，其他的只占30%，所以年收入的中位数、众数都为1万元．
答案：2 1 1
8．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
解：(1)由题图可知众数为65，
因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，0.3＋0.4＞0.5，
所以设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
所以中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.03×10＋65×0.04×10＋75×0.015×10＋85×0.01×10＋95×0.005×10＝67，故平均成绩约为67.
9．甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)：
甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12；
乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12；
丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：
平均数 众数 中位数
甲厂
乙厂
丙厂
(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；
(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？
解：(1)甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.
(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数．
(3)选丙厂的节能灯．因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平．
[B级 综合运用]
10．“小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7 000元；②年人均食品支出(单位：元)不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县( )
年人均收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
解析：选B 由图表可知年人均收入为(2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3)÷40＝7 050(元)，达到了标准①；年人均食品支出为(1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9)÷40＝2 695(元)，则年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%>35%，未达到标准②，所以该县不是小康县．
11．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
阅读量人数学生类别 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，＋∞)
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
学生类别阅读量
下面有四个推断：
①这200名学生阅读量的平均数可能是25本；
②这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40)内；
③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30)内；
④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30)内．
所有合理推断的序号是________．
解析：在①中，这200名学生阅读量的平均数x＞×(5×15＋15×60＋25×51＋35×62＋45×12)＝24.8，这200名学生的平均阅读量可能是25本，故①正确；
在②中，200×75%＝150，阅读量在[0，30)的人数有7＋8＋31＋29＋25＋26＝126人，
在[30，40)的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40)内，故②正确；
在③中，设在区间[0，10)内的初中生人数为x，则x∈[0，15]，x∈N*，
当x＝0时，初中生总人数为25＋36＋44＋11＝116人，＝58，
此时区间[0，20)内有25人，区间[20，30)内有36人，所以中位数在[20，30)内，
当x＝15时，初中生总人数为15＋25＋36＋44＋11＝131人，＝65.5，
区间[0，20)内有15＋25＝40人，区间[20，30)内有36人，所以中位数在[20，30)内，
所以当区间[0，10)内人数取最小和最大值时，中位数都在[20，30)内，
所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30)内，故③正确；
在④中，设在区间[0，10)内的初中生人数为x，则x∈[0，15]，x∈N*，
当x＝0时，初中生总人数为116人，116×25%＝29，
此时区间[0，20)有25人，区间[20，30)有36人，所以25%分位数在[20，30)内，
当x＝15时，初中生总人数为131人，131×25%＝32.75，
区间[0，20)有15＋25＝40人，所以25%分位数在[0，20)内，
所以这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30)内，故④正确．
答案：①②③④
12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________件；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
答案：50 1 015
[C级 拓展探究]
13．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
解：(1)依题意，可得该市使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数约为55，平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)该市使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数约为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以选B款订餐软件．
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7总体集中趋势的估计
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数) 数据分析、数学运算
2.理解集中趋势参数的统计含义 数学运算、数学建模
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
[问题] 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
知识点 众数、中位数和平均数
1．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数；
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)；
(3)平均数：一组数据的除以数据个数所得到的数．
2．总体集中趋势的估计
(1)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；
(2)对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图①)，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图②)，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图③)，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；
(3)对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
众数、中位数、平均数的比较
名称 优点 缺点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征
中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)中位数是一组数据中间的数．( )
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数．( )
(3)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
解析：＝6.
答案：6
众数、中位数、平均数的计算
[例1] (链接教科书第203页例4)(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11.
则下面结论中正确的是( )
A．甲的极差是29 B．乙的众数是21
C．甲的平均数为21.4 D．甲的中位数是24
[解析] 把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37；
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23.
故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确；乙中出现最多的数据是21，所以B正确；甲的平均数为x甲＝×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正确；甲的中位数为×(22＋24)＝23，故D不正确．
[答案] ABC
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[跟踪训练]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86
C．87，85，85 D．87，85，90
解析：选C 从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.
平均数、中位数、众数的应用
[例2] (链接教科书第205页例5)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
[解] (1)平均数是：＝4 000＋(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋1 333＝5 333(元)．
中位数是4 000元，众数是4 000元．
(2)平均数是′＝4 000＋(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋2 212＝6 212(元)．
中位数是4 000元，众数是4 000元．
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
[跟踪训练]
如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)：
一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30
二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29
(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？
(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？
解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，
一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，
所以一班中位数为33次，
33出现的次数最多，众数是33次；
二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，
二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，
所以二班的中位数是29次，
29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．
(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适．
利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
[例3] 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
[解] (1)由题干图知众数为＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分．
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分．
[母题探究]
1．(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均数．
解：由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分)．
2．(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．
解：分数在[40，80)内的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[跟踪训练]
某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间(单位：小时)，绘成的频率分布直方图如图所示．
(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；
(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．
解：(1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58(名)，
即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58.
(2)由频率分布直方图可以看出最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时．
设中位数为t，由(0.04＋0.12)×2＝0.32，(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，0.32<0.5<0.62，得中位数t满足6由0.32＋(t－6)×0.15＝0.5，
得t＝7.2，
即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为7.2小时．
由(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)×2＝1，
解得a＝0.14，
这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为0.04×2×3＋0.12×2×5＋0.15×2×7＋0.14×2×9＋0.05×2×11＝7.16(小时)．
1．已知数据－3，－2，0，6，6，13，20，35，则它的中位数和众数各是( )
A．6和6 B．3和6
C．6和3 D．9.5和6
解析：选A ∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，∴中位数是6.∵6出现的次数最多，∴众数是6，故选A.
2．一组数据1，10，5，2，x，2，且2解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为x＝×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.
答案：4
3．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.
这组数据的平均数是x＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
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