总体百分位数的估计
[A级 基础巩固]
1．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是( )
A．14 B．17
C．19 D．23
解析：选D 因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23.
2．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选D 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.
3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有( )
A．a＝13.7，b＝15.5
B．a＝14，b＝15
C．a＝12，b＝15.5
D．a＝14.7，b＝15
解析：选D 把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，第50百分位数为b＝＝15.
4．2019年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，试估计成绩高于11级分的人数为( )
A．8 000 B．10 000
C．20 000 D．60 000
解析：选B 从题图中可以看出，12级分的有2.5%左右，13级分的有3%左右，14级分的有1%左右，15级分的有1.5%左右，∴高于11级分的有8%左右，其人数约为12万的8%，即120 000×0.08＝9 600人．选项B最接近．故选B.
5．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的第________百分位数．
解析：因为[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．
答案：30
6．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．
解析：因为＝0.55，＝0.85，
所以成绩的70%分位数在[16，17)内，所以16＋×1＝16.5.
答案：16.5
7．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．
解析：由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.
答案：8.6
8．某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
解：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100.
(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，
这10人成绩的平均数为×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3，
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．
[B级 综合运用]
9．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6)
C．(4.5，＋∞) D．[4.5，6.6]
解析：选A 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.
10．如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为________，日最低气温的第80百分位数为________．
解析：由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27.
因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17.
因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃.
答案：24 ℃ 16 ℃
11．下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额：(单位：元)
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天
31 29 26 32 34 28 34 31 34 34
第11天 第12天 第13天 第14天 第15天 第16天 第17天 第18天 第19天 第20天
35 26 27 35 34 28 28 30 32 28
第21天 第22天 第23天 第24天 第25天 第26天 第27天 第28天 第29天 第30天
32 26 35 34 35 30 28 34 31 29
求该家庭6月份每天在食品上面的消费金额的5%，25%，50%，75%，95%分位数．
解：该样本共有30个数据，所以30×5%＝1.5，30×25%＝7.5，30×50%＝15，30×75%＝22.5，30×95%＝28.5.
将所有数据由小到大排列得：26，26，26，27，28，28，28，28，28，29，29，30，30，31，31，31，32，32，32，34，34，34，34，34，34，34，35，35，35，35.
从而得5个百分位数如下表：
百分位数 5% 25% 50% 75% 95%
消费金额/元 26 28 31 34 35
[C级 拓展探究]
12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考．
解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.
(3)由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60)内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分．
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5总体百分位数的估计
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，理解百分位数的统计含义 数学抽象
2.能用样本估计百分位数 数学运算
某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考．
[问题] 你知道如何确定需要补考的分数线吗？
知识点 百分位数
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝n×p%；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
第25百分位数，第50百分位数，第75百分数．这三个分位数把一组数由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
1．班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
2．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( )
(2)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.( )
答案：(1)× (2)√
2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是( )
A．第50百分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定是这组数据中的一个数据
D．它适用于总体是离散型的数据
解析：选A 由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．
3．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．
解析：因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.
答案：8.4
4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.
答案：
百分位数的计算
[例1] (链接教科书第202页例2)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得
7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第50百分位数是＝8.5，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15，第50百分位数为8.5，第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
总体百分位数估计需要注意的两个问题
(1)总体百分位估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值．
[跟踪训练]
以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
解析：选B 把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.
因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.
百分位数的综合应用
[例2] (链接教科书第202页例3)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
[解] (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；
当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以用电量的75%分位数在[300，400)内，
由300＋100×＝375，所以用电量的75%分位数为375千瓦时．
1．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用公式求解．
2．确定要求第p百分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以第p百分位数＝A＋组距×.
[跟踪训练]
某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：
(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；
(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：
等级 三等品 二等品 一等品
重量/克 [5，25) [25，45) [45，55]
试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？
解：(1)因为40×10%＝4，所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在[5，15)范围内约为＝10.因为40×90%＝36，所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在[35，55]范围内，约为＝45，所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10，第90百分位数为45.
(2)由(1)知，这批小龙虾重量集中在[10，45]范围内，所以划为二等品比较合理．
1．下列一组数据的第25百分位数是( )
2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
解析：选A 把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．
2．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
解析：选C 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C.
3．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．
解析：(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40，45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋×5＝42.5(岁)．
答案：(1)0.04 (2)42.5
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6(共26张PPT)
频率/组距
0.0030
b
0.0010
0.0005
O100200300400500600月用电量/千瓦时
