总体取值规律的估计
新课程标准解读 核心素养
1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 数据分析
2.结合实例，能用样本估计总体的取值规律 数学运算
与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能．直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便．
[问题] 你知道直方图还有哪些性质及作用吗？
知识点一 绘制频率分布直方图的步骤
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( )
(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．( )
(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.( )
(4)样本量越大，用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
知识点二 其他统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
扇形统计图与折线统计图分别有什么特点？
提示：扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例，折线统计图可以看出变化趋势．
1．要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用( )
A．条形统计图
B．扇形统计图
C．折线统计图
D．频率分布直方图
解析：选C 描述数据随时间的变化趋势宜采用折线统计图．
2．下面是2017年至2020年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的条形图(如图所示)．
注：人口出生率＝×100%，
人口死亡率＝×100%，
人口自然增长率＝人口出生率－人口死亡率．
下面说法正确的是( )
A．2018年我国二孩政策全面实施后，人口出生率不断提升
B．2017年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降
C．2018年以来，我国人口增速逐渐放缓
D．2020年人口较2019年减少
解析：选C 根据条形图的特点及作用，对比各相关数据间的关系，即可排除A、B、D，故选C.
画频率分布直方图
[例1] 调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
[解] (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153.5) 1 0.025
[153.5，157.5) 3 0.075
[157.5，161.5) 6 0.15
[161.5，165.5) 9 0.225
[165.5，169.5) 14 0.35
[169.5，173.5) 3 0.075
[173.5，177.5) 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
(2)频率分布直方图如图所示．
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若是整数，则＝组数；
(2)若不是整数，则的整数部分＋1＝组数．
2．绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图．
[跟踪训练]
为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[145.5，149.5) 1 0.02
[149.5，153.5) 4 0.08
[153.5，157.5) 20 0.40
[157.5，161.5) 15 0.30
[161.5，165.5) 8 0.16
[165.5，169.5] m n
合计 M N
(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图．
解：(1)法一：N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，＝，
∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
法二：M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，
N＝1.00，n＝＝＝0.04.
(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．
频率分布直方图的相关计算问题
[例2] (1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________；
(2)某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．
[解析] (1)样本中平均气温低于22.5 ℃的城市的频率为0.10×1＋0.12×1＝0.22，样本中的城市总个数为11÷0.22＝50，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市的频率为0.18×1＝0.18，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.
(2)因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120，150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数为×10＝3.
[答案] (1)9 (2)0.030 3
解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(2)各小长方形的面积之和等于1；
(3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
[跟踪训练]
如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数，满分100分)的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率(60分及以上为及格)是( )
A．75% B．25%
C．15% D．40%
解析：选A 大于或等于60分的共四组，它们是[59.5，69.5)，[69.5，79.5)，[79.5，89.5)，[89.5，99.5]，
故样本中60分及以上的频率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%.
统计图的综合应用问题
[例3] (链接教科书第198页例1)(1)(多选)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息可知，下列说法正确的是( )
A．扇形统计图中D的占比最小
B．条形统计图中A和C一样高
C．无法计算扇形统计图中A的占比
D．估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
(2)随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．如图是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(单位：万)与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是( )
A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%
[解析] (1)由条形统计图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生占60%，所以＝，解得x＝30，故条形图中A，C一样高，故B正确；扇形图中A的占比与C一样，都为25%，A和C共占50%，故D正确；D的占比最小，故A正确．
(2)对于A，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；对于C，2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；对于D，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率为：×100%≈30.5%.故D正确．故选C.
[答案] (1)ABD (2)C
1．常用统计图的优势
条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，折线图可以清楚地看到数据变动趋势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合，不能孤立分开．
2．求百分比确定扇形圆心角的度数
在扇形图中，每部分对应扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占总体的百分比．所以要求圆心角的度数，则需求出该部分占总体的百分比．
[跟踪训练]
每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如下表所示)，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示)．
治理杨絮——您选哪一项？(单选)
a．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
b．调整树种结构，逐渐更换现有杨树
c．选育无絮杨品种，并推广种植
d．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
e．其他
由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为( )
A．500，28.8° B．250，28.6°
C．500，28.6° D．250，28.8°
解析：选A 设接受调查市民的总人数为x，由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比例为15%，∴15%＝，解得x＝2 000.∴选择d的人数为2 000×25%＝500，∴扇形统计图中e的圆心角度数为(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°.
1.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．93 B．123
C．137 D．167
解析：选C 由题图知，该校女教师的人数为110×70%＋150×(1－60%)＝77＋60＝137.
2．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图．已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．
解析：根据统计图，得
高一人数为3 000×32%＝960，捐款960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，捐款990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，捐款1 050×10＝10 500(元)．
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)．
答案：37 770
3．某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1)求图中a的值；
(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解：(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.
(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
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10总体取值规律的估计
[A级 基础巩固]
1．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )
A．0.69 B．0.46
C．1 D．0.92
解析：选B 由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.
2．(多选)居民消费价格指数简称CPI，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．某年的CPI＝×100%，如图是2009～2018年某省居民消费价格指数的柱形图．从图中可知下列说法正确的是( )
A．2010～2018年居民消费价格总体呈增长趋势
B．这十年中有些年份居民消费价格增长率超过3%
C．2009年的居民消费价格出现负增长
D．2011年的居民消费价格最高
解析：选ABC 由2009～2018年居民消费价格指数的柱形图知：对于A，2010～2018年居民消费价格总体呈增长趋势，故A正确；对于B，这十年中2010年和2011居民消费价格增长率超过3%，故B正确；对于C，2009年的居民消费价格出现负增长，故C正确；对于D，2018年的居民消费价格最高，故D错误．故选A、B、C.
3.某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是( )
A．获得参与奖的人数最多
B．各个奖项中参与奖的总费用最高
C．购买每件奖品的平均费用为4元
D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍
解析：选B 设全班人数为a.
由扇形图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，则参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；
各奖项的费用：一等奖5%a×18＝0.9a，二等奖10%a×8＝0.8a，三等奖30%a×4＝1.2a，参与奖55%a×2＝1.1a.可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；
平均费用为5%×18＋10%×8＋30%×4＋55%×2＝4(元)．故C正确；
一等奖奖品数为5%a，二等奖奖品数为10%a，三等奖奖品数为30%a，故D正确．
4．(多选)某企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示．
已知利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )
A．该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润
B．该企业2020年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2020年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2020年11月份的月利润最大
解析：选AC 在A中，该企业2020年1月至6月的总利润约为x1＝(30＋40＋35＋30＋50＋60)－(20＋25＋10＋20＋22＋30)＝118(万元)，
该企业2020年7月至12月的总利润约为(80＋73＋72＋80＋90＋80)－(28＋22＋30＋40＋45＋50)＝260(万元)，∴该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润，故A正确；
在B中，该企业2020年第一季度的利润约是(30＋40＋35)－(20＋25＋10)＝50(万元)，故B错误；
在C中，该企业2020年4月至7月的月利润(单位：万元)分别为10，28，30，52，∴该企业2020年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；
在D中，该企业2020年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误；故选A、C.
5．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为0.3，在频率分布直方图中该组对应小长方形的高度为0.06，则|a－b|＝________．
解析：在频率分布直方图中，小长方形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，即|a－b|＝＝5.
答案：5
6．某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入(单位：百元)，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则月工资收入在[30，35)内的应抽出________人．
解析：月工资收入在[30，35)内的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.05×2)×5＝0.15，则月工资收入在[30，35)内的总人数为0.15×1 000＝150，
现用分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则月工资在[30，35)内的应抽出100×＝15(人)．
答案：15
7．从高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在区间[60，90)内的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例．
解：(1)频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50) 2 0.04 0.004
[50，60) 3 0.06 0.006
[60，70) 10 0.2 0.02
[70，80) 15 0.3 0.03
[80，90) 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1 0.1
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)估计成绩在区间[60，90)内的学生比例为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.
(4)估计成绩在85分以下的学生比例为1－(0.12＋0.16)＝1－0.28＝0.72＝72%.
[B级 综合运用]
8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8
C．12 D．18
解析：选C 由题意知，第一组和第二组的频率之和为0.24＋0.16＝0.4，故样本容量为＝50，又第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为50×0.36＝18，故该组中有疗效的人数为18－6＝12.
9．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图①是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图②是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解：(1)由图①知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×1 000＝160(人)．
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
[C级 拓展探究]
10．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)x＝[1－(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋0.005＋0.002 5)×20]÷20＝0.007 5.
(2)由频率分布直方图知，月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的共有(0.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5)×20×100＝55(户)，
其中在[220，240)中的有0.012 5×20×100＝25(户)，
因此，在所抽取的11户居民中，月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取×11＝5(户)．
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6(共36张PPT)
求极
即一组数据中最大值与最小值的差
数k=极差
组数为k,若h
组数
则组数为不小于h的最小整数
将数据
均为左闭右开
最后一组是闭
般
列:分组、频数累计、频数、频率
列频率
最后一行是合计,其中频数合计应是样本量
分布表
频率
频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距
频率分
数据落在各小组内的频率用各小
积来表示,各小长方形的面积的总和等
87%
60
61%
50
40
13%
27%
30
20
10
XX事件数周分布
180000
■2015年
160000
2016年
140000
120000
100000
迷
80000
60000
40000
20000
0
星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六
水果产量比扇形图
6.87‰
□其他
12.37‰
香蕉
团苹果
□柑橘
梨子
16.65%
59.60
4.51
