2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》解答题专题训练（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若AE＝5，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠A＝∠C，EF∥BD，∠1＝∠2．
求：（1）∠C的度数；
（2）∠ADG的度数．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠A和∠DBC的度数．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是高，连接DE．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若∠ADE＝26°，求∠BAC的度数．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，延长BC到D，连接AD．若∠B＝2∠D．求证：CD＝AB．
9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点．
求证：BD＝CE．
10．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°．
（1）若∠A是顶角，求∠B的度数；
（2）若∠B是顶角，求∠B的度数；
（3）若∠C是顶角，求∠B的度数．
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
12．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|a+1|﹣|a﹣1|；
（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．
13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．
14．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
15．已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
16．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．
求证：△ABC是等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AD＝DC，∠BAD＝40°，∠C＝35°，求证：△ABD是等腰三角形．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
19．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形．
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．
20．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
21．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．
参考答案
1．解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ACD是等腰三角形；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴EC＝EA＝5，
∵△CBD的周长为24，
∴CB+BD+CD＝24，
∴CB+AB＝24，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝34．
2．解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠ABC＝70°，
∴∠A+∠C＝110°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＝55°；
（2）∵EF∥BD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝55°．
3．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°，
∴∠C＝2×36°＝72°，
∵BD是AC边上的高，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°．
4．解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
（2）∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵BC+BD+DC＝20，
∴AD+DC+BC＝20，
∴AC+BC＝20，
∵AB＝2AE＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
5．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
6．（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°
（2）解：∵AE＝6，
∴AC＝AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴BC＝20﹣（CD+BD）＝20﹣（CD+AD）＝20﹣12＝8，
∴BC＝8．
7．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵CE⊥AB，
∴BC＝2DE；
（2）∵AD⊥BC，∠ADE＝26°．
∴∠BDE＝64°．
∵BD＝CD，CE⊥AB，
∴BD＝DE．
∴∠ABC＝，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝58°．
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣58°﹣58°＝64°．
8．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠B＝2∠D，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠DAC，
∴CD＝AC，
∴CD＝AB．
9．证明：∵AB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点，
∴AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
10．解：（1）∠B＝＝＝50°；
（2）∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
（3）∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°．
11．解：如图，
（1）过A点作AF⊥BC于点F．
∵AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝2，∠BFA＝90°，
∴在Rt△ABF中，，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠DEB＝90°，
在Rt△DEB中，，
∴BD＝9，
∴CD＝5．
（2）过C点作CH⊥ED于点H，
∵CH⊥ED，AB⊥ED，
∴∠DEB＝∠DHC＝90°，
∴CH∥AB，
∴，
∵BE＝3，BD＝9，CD＝5，
∴．
∴点C到ED的距离CH为．
12．解：（1）解得，
∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，
∴，
解得a＞1；
（2）|a+1|﹣|a﹣1|
＝a+1﹣a+1
＝2；
（3）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，
∴2（a﹣1）+a+2＝12，
解得：a＝4，
∴x＝3，y＝6，3，3，6不能组成三角形，
∴2（a+2）+a﹣1＝12，
解得：a＝3，
∴x＝2，y＝5，2，5，5能组成等腰三角形，
∴a的值是3．
13．解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，
∴∠C＝35°，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝35°，
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；
（2）证明：∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∵AD⊥BC，
∴D是EF边上的中点，
∴FD＝ED，
∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．
14．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
15．证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝∠DEB．
∴△DBE是等腰三角形．
16．证明：∵∠ABD＝∠ACD，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，
∵∠ADB＝90°﹣∠BDC，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∴2∠ACB+∠BAC＝180°
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
17．解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝75°，
∴∠B＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形．
18．证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
19．（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝10°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．
20．解：①∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC＝∠BCO；
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形．
②在△AOB与△AOC中．
∵，
∴△AOB≌△AOC（SSS）；
∴∠BAO＝∠CAO；
∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）
解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，
∴OA垂直平分线段BC．
21．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
同理CF＝DF，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．