2021-2022学年冀教版九年级数学下册第30章二次函数 单元综合练习 （Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学下册《第30章二次函数》单元综合练习（附答案）
一、选择题
1．函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
2．如图，已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④2a+b＞0；其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（　　）
A．abc＞0 B．b＞a+c C．2a+b＞0 D．b2﹣4ac＜0
5．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．与y的交点是（0，1）
C．当x＞2时，y随x的增大而增大
D．与x轴有两个交点
6．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
7．已知函数y＝|x2﹣4|的图象如图所示，若方程组至少有两组实数解，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2 B．b＞0 C．b＜4 D．b＞﹣2
8．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的是（　　）
A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x）
C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2
9．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
二、填空题
10．把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 　 　．
11．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范是 　 　．
12．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．
13．函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 　 　．
14．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 　 　．
15．将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 　 　．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），则原二次函数的关系式为 　 　．
17．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．有以下3种说法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③当x＞1时，y随着x的增大而增大．这3种说法中，正确的有 　 　．
18．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+11，当1≤x≤4时，函数的最大值为　 　 　．
19．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+3的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的非零根为 　 　．
20．点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 　 　．
三、解答题
21．如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？
22．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米．
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若11≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
23．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
24．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的利润率．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由．
参考答案
1．解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
2．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB＝MN＝2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，
∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，
∴阴影部分的面积是6，
故选：D．
3．解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0；
对称轴是直线x＝﹣＞1，即b＞﹣2a＞0，
∴abc＞0，故选项①正确；
②∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项②正确；
③∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项③错误；
④∵b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，故选项④正确；
故选：C．
4．解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故选项A错误，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+c＜b，故选项B正确，
＝1，得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故选项C错误，
抛物线与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误，
故选：B．
5．解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，与y的交点是（0，13），当x＞2时，y随x的增大而增大，
当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
6．解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），
∴y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果＝，则△CPQ∽△CAB，
∴＝，
∴t＝．
如果＝时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
7．解：如图，
当b＝﹣2时，一次函数y＝x﹣2的图象与y＝|x2﹣4|的图象只有一个交点；
当b＞﹣2时，函数y＝x+b的图象与函数y＝|x2﹣4|的图象至少有两个交点；
当b＜﹣2时，函数y＝x+b的图象与函数y＝|x2﹣4|的图象没有交点；
∴方程组至少有两组实数解，即函数y＝x+b的图象与函数y＝|x2﹣4|的图象至少有两个交点，则b＞﹣2，
故选：D．
8．解：设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，根据题意可得：
y＝（5﹣x）（3﹣x），
故选：B．
9．解：设y＝mx2﹣2x﹣2，
∵函数值恒为负，
∴，
解得：m＜，
故选：B．
10．解：y＝2x2﹣6x+1＝2（x2﹣3x+﹣）+1＝2（x﹣）2+，
故答案为：y＝2（x﹣）2﹣，
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
12．解：∵抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（﹣3，y1）关于对称轴直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＞y1＞y2，
故答案为：y3＞y1＞y2．
13．解：∵y＝x2﹣2ax﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
当a≤1时，则x＝1时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝1﹣2a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝16﹣8a﹣1＝﹣5，解得a＝2.5（不合题意，舍去）；
当1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝a2﹣2a2﹣1＝﹣5，解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
综上，实数a的值是2，
故答案为：2．
14．解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝8﹣x，
则：S＝AC BD＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S最大＝8；
所以，四边形ABCD的面积最大值为8，
故答案为：8．
15．解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2﹣2．
故答案是：y＝﹣（x﹣5）2﹣2．
16．解：把点（﹣2，0）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），
即二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，1），
所以原抛物线相应的函数表达式为y＝（x﹣3）2+1，即y＝x2﹣6x+10．
故答案为：y＝x2﹣6x+10．
17．解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故本选项正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0；
故本选项错误；
③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故本选项正确；
综上所述，以上说法正确的是①③；
故答案为：①③．
18．解：∵y＝﹣（x﹣5）2+11，
∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝﹣（4﹣5）2+11＝10，
故答案为：10．
19．解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+3＝0的根是x1＝﹣3，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣1，
又∵将抛物线y＝ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣2，0）．
∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为 0或﹣2．
即关于x的方程ax2+bx＝0的非零根为x＝﹣2．
故答案是：x＝﹣2．
20．解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，
∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式x2﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
21．解：依题意建立如图所示直角坐标系，
则点A（﹣3，﹣3），点B（3，﹣3）．
设函数解析式为y＝ax2（a≠0），
把B（3，﹣3）代入y＝ax2得：﹣3＝9a，
解得：a＝﹣，
∴解析式为y＝﹣x2，
∵水位上升1m，
∴把y＝﹣2代入y＝﹣x2得：
﹣x2＝﹣2，
解得，
∴CD＝2m，
答：水面宽度减少．
22．解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，
∵0＜40﹣2x＜40，
∴0＜x＜20．
由题意得S＝AB BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），
∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，
即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米．
（2）∵11≤AB≤12，
∴11≤x≤12，
∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴x＞10时，S随x增大而减小，
当x＝11时，S＝﹣2×（11﹣10）2+200＝198，
当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝196，
∴196平方米≤S≤198平方米．
23．解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6．
24．解：（1）根据题意得，
y＝200﹣10（x﹣8）
＝﹣10x+280，
故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；
（2）根据题意得，
（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，
解得；x1＝10，x2＝24（不合题意舍去）．
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，
w＝（x﹣6）（﹣10x+280）
＝﹣10（x﹣17）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w所获利润最大，为960元，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元，利润率为100%．
25．解：（1）把点A（﹣3，0）点B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，
解得：；
故抛物线的表达式为：．
（2）连接OP，设点，
＝
＝﹣x2﹣3x+2
＝；
∵﹣1＜0，故S有最大值，当时，S的最大值为；
（3）存在，M（﹣1，﹣2），M（﹣1，2）；
由条件可设M点坐标为（﹣1，m），
则MB2＝22+（m﹣0）2＝4+m2，MA2＝22+m2＝4+m2，且AB2＝16，
当△ABM为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得MB2+MA2＝AB2，
∴4+m2+4+m2＝16，解得m＝﹣2或m＝2，
即M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2），