2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定 同步达标测试（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（　　）
A．102° B．51° C．41° D．39°
2．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（　　）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
6．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　）
A．97° B．104° C．116° D．142°
7．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
8．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
9．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．4
10．如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝　 　cm时，BC与⊙A相切．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　 　．
13．已知⊙O中，的度数为70°，过点A的直线AC与⊙O相切，则弦切角∠BAC的度数为　 　．
14．如图，已知直线y＝﹣x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　 　．
15．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为　 　．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求AP的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．
19．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×102°＝51°．
故选：B．
2．解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ADC＝∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°．
故选：B．
3．解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，
∴BD＝OB＝，
故选：D．
4．解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
5．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故选：D．
6．解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
7．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
8．解：∵四边形ABET是圆内接四边形，
∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠BTD＝∠E＝80°．
故选：D．
9．解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝2，
故选：B．
10．解：设AD＝x，
∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，
∴BD＝BE＝1，
∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，
在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，
即AD的长度为．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴AD＝AB，即AB＝2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD＝3cm，
则AB＝2AD＝6cm．
故答案是：6．
12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
13．解：如图；的度数为70°，EF与⊙O相切，切点为A；
∵的度数为70°，
∴∠ADB＝35°．
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝∠ADB＝35°，
∴∠DAE＝180°﹣∠FAB＝145°．
①当∠BAC＝∠BAF时，∠BAC＝35°；
②当∠BAC＝∠BAE时，∠BAE＝145°；
因此弦切角∠BAC的度数为35°或145°．
14．解：如图，
在直线y＝﹣x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝4，OA＝，
∴tan∠OBA＝＝，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ＝，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP＝OB＝2，
此时PQ＝＝，
BP＝＝2，
∴OQ＝OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴EP＝BP＝，
∴BE＝＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∵OE＝OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2．
故答案为：2．
15．解：如图，点I即为△ABC的内心．
所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
三．解答题（共5小题，满分45分）
16．（1）证明：∵P是的中点，
∴＝，
∴∠PAD＝∠PAB，
∵OA＝OP，
∴∠APO＝∠PAO，
∴∠DAP＝∠APO，
∴AD∥OP，
∵PD⊥AD，
∴PD⊥OP，
∴DP是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OP于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵P是的中点，
∴OP⊥BC，CE＝BE，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CD＝PE，PD＝CE，
∵∠APC＝∠B，
∴sin∠APC＝sin∠ABC＝＝，
∵AC＝5，
∴AB＝13，
∴BC＝12，
∴PD＝CE＝BE＝6，
∵OE＝AC＝，OP＝，
∴CD＝PE＝﹣＝4，
∴AD＝9，
∴AP＝＝＝3．
17．解：（1）连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴＝，
∴BD2＝BF BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
18．（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵＝，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，
∴，
∴AE＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵sin∠ABC＝＝＝，
∴AB＝，
∴OA＝AB＝．
即⊙O的半径为．
19．解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．
20．（1）解：△BOF为等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a，
∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°，
而OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形．
（2）证明：连接EF，如图，
∵∠EBF＝60°，BF＝BE，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，
∵OG垂直平分BF，
∴点E、O、G共线，
即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°，
∴BG＝OG＝a，
∴BE＝2BG＝2a，
而AB＝2a，
∴点A与点E重合，
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A