2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.3 勾股定理 同步练习题（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步练习题（附答案）
一、选择题
适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）①a＝32，b＝42，c＝52；
②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
2．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在6×6的网格图中，若△ABC为网格直角三角形，则满足条件的C点个数有（　　）
A．6 B．7 C．13 D．15
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为1、、2
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝（　　）
A．5 B．7 C．13 D．15
5．直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c的值是（　　）
A．5 B．7 C．5或 D．25或7
6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝ ＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
7．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．52，122，132 D．7，24，25
8．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
9．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm
10．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
14．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　）
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
15．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　 　．
17．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　 　cm2．
18．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　尺．
19．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　 　．
三、解答题
20．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，AD＝5，CD＝．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
23．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．
求证：a2+b2＝c2
证明：连接　 　
∵S五边形ACBED＝　 　
又∵S五边形ACBED＝　 　
∴　 　
∴a2+b2＝c2．
25．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
26．水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
27．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动．已知AD⊥BC且AD＝AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
28．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；
（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．
29．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
参考答案
1．解：①a＝32，b＝42，c＝52，∴a2+b2≠c2，故不能形成直角三角形；
②（c+b）（c﹣b）＝c2﹣b2＝a，故不能形成直角三角形；
③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C＝90°，能形成直角三角形；
④∵a＝1，b＝，c＝，∴a2+c2＝b2，故能形成直角三角形，
故直角三角形的个数为2个，
故选：B．
2．解：由勾股定理得：AB＝，
如图所示：
故有13个，
故选：C．
3．解：A、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、180°×＝75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2＝10﹣3＝7，
∴S3＝7，
故选：B．
5．解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25，
∴c＝5，
当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7，
∴c＝，
综上所述，c的值是5或，
故选：C．
6．解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA8＝＝2．
故选：D．
7．解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．解：当12是斜边时，第三边是＝；
当12是直角边时，第三边是＝13．
故选：B．
9．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝
＝
＝13（Cm）．
故选：A．
10．解：如图，由勾股定理得 AC＝＝．
∵BC×2＝AC BD，即×2×2＝×BD
∴BD＝．
故选：C．
11．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：C．
12．解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
13．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
14．解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，
故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝30（海里）
故选：D．
15．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
16．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝ AF BC＝10．
故答案为：10．
17．解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝21，
∴S△ABC＝＝×21×12＝126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11cm，
∴S△ABC＝＝×11×12＝66cm2，
故答案为：126或66．
18．解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
19．解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
20．解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN，
∵∠CBN＝60°，BC＝200米，
∴CH＝200×＝100（米），
BH＝100（米），
∵∠CAN＝45°，
∴AH＝CH＝100米，
∴AB＝100﹣100≈73（m），
∵60千米/小时＝m/s，
∴＝14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），
∴此车没有超速．
21．（1）证明：在△ABC中，∵AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
在△ACD中，∵AD＝5，CD＝，
∴AC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：∵△ABC的面积为，△ACD的面积为，
∴四边形ABCD的面积为4+5＝9．
22．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
23．解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝
而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m，
根据路程相同列出方程x+＝30，
可得＝30﹣x，
两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2，
整理得：80x＝400，
解得：x＝5，
所以这棵树的高度为10+5＝15m．
故答案为：15m．
24．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
25．解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
26．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
27．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，在Rt△ABD中，∵AD＝AB
∴∠ABD＝30°，AB＝240千米，
∴AD＝AB＝120千米，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200千米．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE＝AF＝200．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝320．
∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2≈8（级）．
28．解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示．
29．解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）连接CQ，如图3，
∵QP的垂直平分线过点C，
∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，
∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；
或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；
∴AQ＝3﹣＝．