2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.3勾股定理同步练习题（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步练习题（附答案）
一、选择题
1．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（　　）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
4．已知直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．8 B．8或10 C．10 D．10或2
5．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　）
A．50 B．36 C．47 D．64
7．一个直角三角形中，一直角边和斜边的长分别为5和13，则斜边上的高为（　　）
A． B． C．30 D．40
8．在△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC上的高AD长为15，则△ABC的面积为（　　）
A．210 B．90 C．210或90 D．84或120
9．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（　　）
A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm
10．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）
A．18 B．15 C．12 D．8
12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A． B．8 C． D．
二、填空题
14．如图，在高为3米，坡面长度AB为5米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 　 　米．
15．如图，已知BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 　 　．
16．如图，已知长方体的长AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，最短路程是 　 　cm．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为10cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝　 　．
三、解答题
19．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 　 　米．
20．如图，∠AOB＝90°，OA＝6m，OB＝2m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
21．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
22．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
23．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
24．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝．
（1）求AD＝　 　；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
25．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
a b c
1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1
2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1
3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1
4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1
… … … …
n a＝　 　 b＝　 　 c＝　 　
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
参考答案
1．解：A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
3．解：如图，∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD＝（cm），
故选：B．
4．解：由6＜8知，斜边的长可能为8，也可能不为8，
①当斜边长为8时，符合条件；
②当斜边长不为8时，
斜边长为＝10，
∴以6和8为边长的直角三角形的斜边长为8或10．
故选：B．
5．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
6．解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，
∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4，
∵所有的三角都是直角三角形，
∴SA+SB+SC+SD＝SF，
∴S＝47，
故选：C．
7．解：如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝13，AD是斜边BC边上的高，
则由勾股定理得，AB＝＝＝12，
∵S，
∴，
∴AD＝，
故选：A．
8．解：分两种情况考虑：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15，
根据勾股定理得：BD＝＝20，
在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15，
根据勾股定理得：DC＝＝8，
∴BC＝BD+DC＝20+8＝28，
则S△ABC＝BC AD＝210；
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15，
根据勾股定理得：BD＝＝20，
在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15，
根据勾股定理得：DC＝＝8，
∴BC＝BD﹣DC＝20﹣8＝12，
则S△ABC＝BC AD＝90．
综上所述，△ABC的面积为210或90，
故选：C．
9．解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为48cm，宽为圆柱的底面周长14cm，
根据勾股定理得：
AB＝＝50（cm），
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为50cm，
故选：B．
10．解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BD＝＝＝5（cm），
∵BC＝13cm，CD＝12cm，52+122＝132，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC＝×DB×CD＝×5×12＝30（cm2），
S△ABD＝×3×4＝6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6＝36（cm2），
故选：D．
11．解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
12．解：如图所示：
∵（a+b）2＝26，
∴a2+2ab+b2＝26，
∵大正方形的面积为17，
∴2ab＝26﹣17＝9，
∴小正方形的面积为17﹣9＝8，
故选：C．
13．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x2＝62+22＝40，
所以x＝2，
所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12．
故选：D．
14．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝5米，AC＝3米，
∴BC＝＝＝4（米），
则AC+BC＝7（米），
故答案为：7．
15．解：∵BC＝＝，
则AB＝BC＝，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
16．解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，
故答案为：5．
17．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
∴A'D＝12cm，BD＝10﹣3+2＝9cm，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝15（cm）．
故答案为：15．
18．解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5，
∴BF＝CF＝BC＝3，
由勾股定理得：AF＝＝4，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴+，
＝×5PE，
24＝5（PD+PE），
∴PD+PE＝4.8，
故答案为：4.8．
19．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
20．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC＝AC，
设BC＝AC＝xm，
则OC＝（6﹣x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2＝BC2，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝3．
∴机器人行走的路程BC为3m．
21．解：由勾股定理可得：BC＝＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝小时．
0.04÷＝72＞70．
所以超速了．
22．解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则AE＝AB﹣0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千AB的长为4m．
23．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．
24．（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：AD＝，
∵BD＝，
∴AB＝BD+AD＝+＝5，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．
25．解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；
（2）a2+b2＝c2，理由是：
∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
∴a2+b2＝c2；
（3）当2n+1＝2019时，n＝1009，
∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，
∵a2+b2＝c2；
∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
＝0．