2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.3角的平分线 同步达标训练（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步达标训练（附答案）
一、选择题
1．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．4
2．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）
A．8 B．5 C．4 D．2
3．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
4．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞5
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
6．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（　　）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
7．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
8．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．3 B．+ C．+2 D．2+
10．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
12．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　 　．
13．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝　 　．
14．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为　 　cm．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若点E为AB的中点，CD＝4，求BE的长．
16．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，求△ABC的面积？
17．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
18．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
19．如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
20．如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＝DF．
探究发现：
如图2，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED+∠AFD＝180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明之；若不相等请举反例说明．
21．（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
22．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
23．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．
24．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF＝AE．
求证：（1）DE＝DF；
（2）AC＝3BF．
参考答案
1．解：当PM⊥OC时，PM的值最小，
∵PD⊥OA，点P是∠AOC的角平分线上一点，PM⊥OC，
∴PD＝PM，
∵PD＝，
∴PM＝，
即PM的最小值是，
故选：B．
2．解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：C．
3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，
∴DE＝，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DF＝DE＝3，
∴DP≥3，
故选：A．
4．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：C．
5．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×5＝30，
故选：B．
6．解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．
故选：A．
7．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
8．解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴DE＝5，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝＝12，
∵AB＝8，
∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED
＝+﹣
＝+﹣
＝50，
故选：C．
9．解：如图．过点D作DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2+，
故选：D．
10．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵BD、CE是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH，
∵点P到AC的距离为4，
∴PH＝4，
即点P到AB的距离为4．
故选：A．
11．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
12．解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝
＝60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
13．解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）
＝180°﹣2×（180°﹣130°）
＝80°，
故答案为：80°．
14．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，
∴OP＝2DM＝8，
∴PD＝OP＝4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值＝PD＝4，
故答案为：4．
15．（1）证明：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠AED＝∠C＝90°，∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC＝AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∵CD＝DE＝4，∠DEB＝90°，
∴BD＝2DE＝8，
由勾股定理得：BE＝＝4．
16．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝1，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×1
＝×20×1＝10，
17．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
18．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
19．答：点P是线段CD的中点．
证明如下：过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，PD⊥CD于D，
∴PC⊥BC，
∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，
∴PD＝PE，PC＝PE，
∴PC＝PD，
∴点P是线段CD的中点．
20．解：DE＝DF．
理由如下：
如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN．
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，
∴∠DFN＝∠AED．
在△DME与△DNF中，
∵，
∴△DME≌△DNF（AAS）．
∴DE＝DF．
21．解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP＝OP，PM＝PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵PM＝PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
22．解：相等．
证明如下：连EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分线，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
23．解：AE＝FG，AE∥FG．
理由如下：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC，
∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED，
∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AEF＝∠AFC，
∴AE＝AF，
∴AE＝FG，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥FG，
∴AE＝FG，AE∥FG．
24．解：（1）∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE＝DF．
（2）∵△CDE≌△BDF，
∴CE＝BF，
∵BF＝AE，
∴AE＝2BF，
∴AC＝3BF．