2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.2线段的垂直平分线 同步练习题（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）
一、填空题
1．如图，平面上到两两相交的三条直线a、b、c的距离相等的点一共有 　 　个．
2．已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为 　 　．
3．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　．
4．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　 　cm．
5．如图，△ABC中，AH为BC边上的高，记S△ABC为S，AH的垂直平分线交边AB于点B1，交边AC于点A1，连接A1B．得到第一个三角形△A1BC，作△A1BC边BC上的高A1H1；作高A1H1的垂直平分线交边AB于点B2，交边AC于点A2，连接A2B，得到第二个三角形△A2BC，作△A2BC边BC上的高A2H2；…依次这样作下去，则第2020个三角形△A2020BC的面积为　 　．
6．如图，已知A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3），若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为　 　．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝　 　．
8．如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（3，﹣1），点C的坐标为（2，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为 　 　．
二、解答题
9．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
10．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；
（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．
11．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
12．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
13．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
14．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数　 　°．
15．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．
（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．
16．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
17．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
19．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．求证：DE＝EC．（用三种方法证明）
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
参考答案
1．解：如图，
到三条直线a、b、c的距离都相等的点一共有4个．
故答案为：4．
2．解：当点P、Q在AB的同旁时，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴QA＝QB，
∵∠QBA＝60°，
∴∠QAB＝∠QBA＝60°，
∴∠QAP＝∠QAB﹣∠PAB＝60°﹣35°＝25°，
当点P、Q′在AB的两旁时，
∴∠Q′AP＝∠Q′AB+∠PAB＝60°+35°＝95°，
故答案为：25°或95°．
3．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，
当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
4．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝5cm，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），
故答案为：18．
5．解：如图所示，连接A1H，
∵AH的垂直平分线交边AB于点B1，交边AC于点A1，
∴AA1＝HA1，
∴∠HAC＝∠AHA1，
又∵AH⊥BC，
∴∠HAC+∠C＝∠AHA1+∠CHA1＝90°，
∴∠C＝∠CHA1，
∴HA1＝CA1，
∴AA1＝CA1，
∴A1是AC的中点，
∴△A1BC的面积＝S△ABC＝S，
同理可得，A2是A1C的中点，
∴△A2BC的面积＝S△A1BC＝S，
同理可得，△A3BC的面积＝S△A2BC＝，
……，
∴第2020个三角形△A2020BC的面积为，
故答案为：．
6．解：如图所示：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点P，
点P的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
7．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
8．解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等，
∴点P是边AB、AC的垂直平分线的交点，
如图所示：点P即为所求，此时点P的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
9．解：（1）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵△ADE的周长为8cm．
∴BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE＝8cm；
（2）连接OA、OB、OC，
在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∵△OBC的周长为18cm，
∴OB+OC+BC＝18cm，
∴OB＝OC＝5cm，
∴OA＝5cm．
10．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝∠BAC﹣∠B﹣∠C＝100°﹣80°＝20°；
（2）如图，
∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ＝90°，
由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，
∴∠BAC＝135°；
答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ；
（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，
∵BC＝10，
∴△APQ周长＝10．
11．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
12．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
13．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
14．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
15．解：（1）∠BPC＝90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC；
（2）∠BOC＝2∠BAC
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC；
（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，
∵点P为三角形三个内角平分线的交点，
∴∠BPC＝90°+∠BAC
由∠BAC＝2∠BPC﹣180°
点O为三角形三边垂直平分线的交点
∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，
即4∠BPC﹣∠BOC＝360°．
16．解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
17．证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
18．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
19．解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△CDO（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°．
20．证明：方法一：如图1，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝∠DBE＝30°，
∵DE⊥AB，CE⊥BC，
∴CE＝DE；
方法二：如图2，连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，
∵∠BDE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴DE＝CE；
方法三：如图3，延长DE交BC的延长线于F，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，BC＝AB，
∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD＝AB，∠BDF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴BD＝BF，
∴CF＝BD＝AD，
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴DE＝CE．
21．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．