2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.1等腰三角形 同步达标训练（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标训练（附答案）
一、选择题
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则其底角的大小为（　　）
A．65° B．105° C．55°或35° D．65°或115°
2．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．等腰三角形一腰上的中线把周长分为9cm和21cm的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（　　）
A．2cm B．14cm C．18cm D．2cm或18cm
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，∠A＝62°，则∠DFE的度数为（　　）
A．58° B．59° C．62° D．76°
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）
A．20° B．140° C．20°或140° D．40°或140°
9．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
12．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
二、填空题
13．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝　 　．
14．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P＝∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°﹣∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 　 　（直接填写序号）．
15．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是　 　．
16．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为　 　．
17．如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝　 　m2．
18．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　 　．
三、解答题
19．已知等腰△ABC，解答以下问题：
（1）若有一个内角为40°，求这个等腰三角形另外两个角的度数；
（2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和2a+1，求三边的长．
20．如图所示，在直线l上找一点P，使△PAB为等腰三角形，请问这样的P点有几个？在图上标出来．
21．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
22．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．
参考答案
1．解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
故选：C．
2．解：∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故选：C．
3．解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝21cm，分下面两种情况解．
（1）x+x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+21＝30（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，18cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系
∴舍去；
（2）x+x＝21，
解得x＝14，
∵三角形的周长为30cm，
∴三边长分别为14cm，14cm，2cm．
综上可知：这个等腰三角形的底边长是2cm．
故选：A．
4．解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
5．解：△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，
△BDF中，BD＝BF，
∴∠BFD＝（180°﹣∠B）；
同理，得：∠CFE＝（180°﹣∠C）；
∴∠BFD+∠CFE＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣×118°＝121°，
∵∠BFD+∠CFE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝180°﹣121°＝59°．
故选：B．
6．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE OM+AF OD＝OD （AE+AF）＝mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
7．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
8．解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：D．
9．解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB PE，S△ACP＝AC PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB PE+AC PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
10．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
11．解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；
C.
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OM＝ON＝OQ，
即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；
D.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；
故选：B．
12．解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
13．解：∠B＝30°是底角，如图1：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝30°+30°＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ADC＝15°+15°＝30°，
∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．
故∠DAC＝90°或45°．
故答案为：90°或45°．
14．解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，
∴∠PCB＝ACB，∠BCD＝BCF，
∵∠ACB+∠BCF＝180°，
∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD＝ACB+＝（∠ACB+∠BCF）＝90°，
∴CP⊥CD；故①正确；
延长CB，
∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，
∴BP平分∠ABH，
∴∠PBH＝∠BCP+∠P，
∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，
∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，
∴∠A＝2∠P，
即：∠P＝∠A，故②正确；
假设BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠DCF＝∠A，
∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
而△ABC中，∠A＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，故④正确；
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠EBD＝EBC，
∴∠EBD＝∠A，
∴PD∥AC．故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
15．解：①如图1，点P在AB上时，AP＝AC，顶角为∠A＝100°，
②∵∠B＝25°，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣100°＝55°，
如图2，点P在BC上时，若AC＝PC，顶角为∠C＝55°，
如图3，若AC＝AP，则顶角为∠CAP＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×55°＝70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
16．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当BD与CE无重合时，如图1，
AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，如图2，
AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述，AD+AE＝6或14．
故答案为：6或14．
17．解：延长BD交AC于点E，如右图所示，
由已知可得，
∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE，
∴△ADB的面积等于△ADE的面积，△CDB的面积等于△CDE的面积，
∵S△ABC＝10m2，
∴S△ADC＝5m2，
故答案为：5．
18．解：①当BD＝CD，CD＝AD时，如图①所示，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x，
∵BD＝CD，CD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝∠C＝x，
∴4x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠BAC＝2x＝45°×2＝90°；
②当AD＝BD，AC＝CD时，如图②所示，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
设∠B＝∠C＝x，
∵AD＝BD，AC＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝，
∴＝180°﹣2x，
解得：x＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣2x＝180°﹣2×36°＝108°，
故答案为：90°或108°．
19．解：（1）①当40°角是顶角时，另外两个内角的度数＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
②当40°角是底角时，另一底角为40°，顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）①a为腰长时，a+a＜2a+1，不构成三角形；
②2a+1为腰长时，a+2a+1＞2a+1，构成三角形，
依题意有a+2a+1+2a+1＝27，
解得a＝5，
2a+1＝10+1＝11．
故三边的长为11、11、5．
20．解：如图，
∵①若PA＝AB，则符合要求的点为：P1，P2，
②若PB＝AB，则符合要求的点为：P3，
③若PA＝PB，则符合要求的点为：P4．
∴这样的P点有4个．
21．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
22．（1）证明：延长AF交BCA于M，延长AE交CB的延长线与N，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠MFC＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠MCF，
在△ACF和△MCF中，
，
∴△ACF≌△MCF（ASA），
∴AF＝MF，
同理AE＝NE，
∴EF∥MN，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AF＝MF，AE＝NE，
∴MN＝2EF＝2×4＝8，
∵AC＝4，
∴CM＝AC＝4，
∴CN＝MN+CM＝12，
∵BC＝5，
∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．