2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.3角的平分线 解答题专题训练（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》解答题专题训练（附答案）
1．已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）求证：CD＝CE．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是112cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°．
（1）求∠AEC的度数．
（2）DE＝2，AC＝6，求△ACE的面积．
4．如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F．
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小．
5．如图，△ABC中，BP平分线∠ABC，PC平分∠ACB．
（1）求证：点P到△ABC三边的距离相等；
（2）连接AP，求证：S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC．
6．如图，△ABC中，过点A，B分别作直线AM，BN，且AM∥BN，过点C作直线DE交直线AM于D，交直线BN于E，设AD＝a，BE＝b．
（1）如图1，若AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，若a＝1，b＝，求AB的长；
（3）如图2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的长．（用含a，b的式子表示）
7．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条 道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．
（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．
8．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE＝1，求AD的长．
9．如图：已知等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，
①求证：BD＝DE；
②若M为BE中点，求证：DM平分∠BDE．
10．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
11．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，求OC的长．
12．如图．在Rt△ABC中．已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC．求证：EC平分∠FED．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
14．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）
15．点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．
16．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
17．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
18．已知Rt△ABC中，斜边AB上的高线CH与∠BAC的平分线AM交于点P，如图1．
（1）求证：PC＝CM；
（2）如图2，若高线CH与∠ABC的平分线BN交于点Q，PM、QN的中点分别是E、F，求证：EF∥AB．
19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．
20．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为　 　；
（2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为　 　（用含有α的式子表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为　 　．（用含有α的式子表示）
参考答案
1．证明：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN＝180°，
又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，
∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，
∴△ACB是直角三角形；
（2）过C点作CF∥AM，交AB于F．
∵AM∥BN，CF∥AM，
∴CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠CBE，
∵∠FAC＝∠DAC，∠FBC＝∠CBE，
∴∠ACF＝∠FAC，∠BCF＝∠FBC，
∴AF＝CF＝FB，
∴F为AB的中点，
又CF∥AD∥BE，
根据平行线等分线段定理得到C为DE中点，
∴CD＝CE．
2．解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是112cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，
∴×15×DE+×13×DF＝112，
∴DE＝DF＝8（cm），
即DE的长是8cm．
3．解：在△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝25°，
在△DAE中，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°；
（2）∵DE＝2，AE平分∠DAC，
∴点E到AC的距离为：2．
∴三角形AEC的面积为：×6×2＝6．
4．解：（1）△ABD是等腰三角形，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠GAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAC＝2∠DAC，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形
（2）∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝72°．
5．（1）证明：过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BP平分线∠ABC，PC平分∠ACB．
∴PD＝PE，PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（2）证明：∵S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB PD：BC PE＝AC PF，
由（1）知，PD＝PE＝PF，
∴S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC．
6．解：（1）如图1，∵AC平分∠MAB，
∴∠CAB＝∠MAC＝，
同理，∠CBA＝∠NBC＝，
∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣90°＝90°；
（2）如图1，在AB上取一点F，使AF＝AD＝1，连接CF，
在△AFC和△ADC中，
，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠AFC，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∵∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠BEC，
∵∠FBC＝∠EBC，BC＝BC，
∴△BFC≌△BEC（AAS），
∴EB＝BF＝，
∴AB＝AF+BF＝1+＝；
（3）如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，
∵AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵EC＝EH，∠DEB＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴∠ECH＝∠EHC＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∴AM∥BN，
∴∠ADC+∠DEB＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC＝∠CHB，∠DAC+∠DCA＝60°，
∵∠DCA+∠ACB+∠HCB+∠ECH＝180°，
∴∠DAC+∠HCB＝60°，
∴∠DAC＝∠HCB，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH＝HE，CD＝BH，
∴AD+DC＝BE，
∴DC＝BE﹣AD＝b﹣a．
7．解：如图：
8．（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，
∴∠EAD＝∠DAF．
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°
又AD＝AD，
∴△DEA≌△DFA．
∴EA＝FA
∵ED＝FD，
∴AD是EF的垂直平分线．
即AD⊥EF．
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠DEA＝∠FAE＝90°．
又∠DFA＝90°，
∴四边形EAFD是矩形．
由（1）得EA＝FA，
∴四边形EAFD是正方形．
∵DE＝1，
∴AD＝．
9．①证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠E，
∴BD＝DE；
②证明：∵BD＝DE，M为BE中点，
∴DM平分∠BDE．
10．解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
（2）如图，过D作DG⊥AC于G，
又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，
∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．
11．解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝3，
∵∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝75°，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP＝75°，
∴∠AOP＝∠CPO＝75°，
∴CP＝CO，∠PCO＝30°，
∴PC＝2PE＝6，
∴OC＝6．
12．证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠DEC，
∴EC平分∠FED．
13．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
14．解：作图如图，点P或点P′即为所求作的点．
15．解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，
∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝R，
由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，
∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，
6×8＝6R+8R+10R，
R＝2，
即PD＝2cm．
答：点P到三边的距离为2cm．
16．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
17．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．
18．解：（1）如图1，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，
∵AM平分∠BAC，PQ⊥AC，CH⊥AB，
∴∠APH＝∠APQ，
又∵PQ⊥AC，AC⊥BC，
∴∠APQ＝∠AMC，
∴∠AMC＝∠CPM，
∴PC＝CM；
（2）证明：如图2，连接CF、FH，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN＝∠CBN，
又∵CH⊥AB，
∴∠CQN＝∠BQH＝90°﹣∠ABN＝90°﹣∠CBN＝∠CNB，
∴CQ＝NC．
又∵F是QN的中点，
∴CF⊥QN，
∴∠CFB＝90°＝∠CHB，
∴C、F、H、B四点共圆．
又∵∠FBH＝∠FBC，
∴FC＝FH，
∴点F在CH的中垂线上，
同理可证，点E在CH的中垂线上，
∴EF⊥CH，
又∵AB⊥CH，
∴EF∥AB．
19．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴EB＝ED，
∵EB＝ED，F是BD中点，
∴EF平分∠BED．
20．解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣×140°＝20°；
故答案为：20°
（2）由（1）∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠DOE＝90°﹣（180°﹣∠AOC），
∴∠DOE＝∠AOC＝．
故答案为：；
（3），理由如下：
如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝180°﹣∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴；
（4）∵OE平分∠BOC，
＝，
∵∠COD是直角，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝＝．
故答案为：