2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.1等腰三角形同步达标测试题（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．10
3．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或35° C．25°或40° D．40°
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，△ABC中，AB＝4cm，AC＝5cm，BC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，DE∥AB，DF∥AC，则C△DEF＝（　　）
A．9cm B．6cm C．5cm D．4cm
7．已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A．10 B．6 C．4或6 D．6或10
8．如图，D是△ABC内一点，已知：∠ACB＝90°，AC＝AD，DB＝DC，下列结论成立的是（　　）
A．∠CAD＝2∠CBD B．∠ACD＝2∠ABD C．∠ACD＝2∠CAD D．∠ACD＝3∠CBD
9．在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有多少个？（　　）
A．10 B．8 C．6 D．7
10．在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是（　　）
A．不存在的 B．10° C．12° D．15°
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作DE∥BC，交AB于点D，若DB＝8，则DE＝　 　．
12．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BOC＝90°+∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论是　 　．（填序号）
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝　 　．
15．如图，在△ABC中，BC＝2AB，BD为∠ABC的角平分线，∠ADB＝45°，过点A作AE⊥BD于点E，若BE＝8，则DE的长为　 　．
16．如图，AB＝AC＝BD，∠BAC+∠ABD＝240°，AD、BC交于M，∠DBC＞∠DAC，若BM＝3，DM＝8，则AM＝　 　．
17．如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝40°，∠CAD＝65°．若AB＝5，BD＝3，则BC的长为　 　．
18．如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B＝120°，∠ACB＝40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP度数是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
20．如图，在△ABC中，点D在BC上，AD平分∠BAC，点E、F分别在AC、AB上，满足AE＝BF，DE∥AB．
求证：
（1）AE＝DE；
（2）BD＝EF．
21．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC＝80°，求∠PAC的度数．
22．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．
23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE＝ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故选：C．
2．解：∵在△ABC中，AB＝BC＝10，∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝10，
故选：C．
3．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
4．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
5．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
6．解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠DCF，
∴∠BDE＝∠DBE，∠CDF＝∠DCF，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴C△DEF＝DE+EF+DF＝BE+EF+CF＝BC＝6cm，
故选：B．
7．解：（1）设底为x，则腰为（x+6），由题意得：
x+2（x+6）＝24，
解得：x＝4，
当x＝4时，x+6＝10，此时等腰三角形的三边为：4，10，10；
（2）设底为x，则腰为（x﹣6），由题意得：
x+2（x﹣6）＝24，
解得：x＝12，
当x＝12时，x﹣6＝6，12，6，6不能构成三角形，不符合题意；
因此，腰为10，
故选：A．
8．解：∵AC＝AD，DC＝DB，
∴∠ACD＝∠ADC，∠DCB＝∠DBC，设∠ACD＝∠ADC＝x，∠DCB＝∠DBC＝y，∠CAD＝α，∠DAB＝β，∠DBC＝γ，
∵∠ACB＝90°，
∴x+y＝90°，
∵∠CAB+∠CBA＝90°，
∴x+α+β+γ＝90°，
∴y＝α+β+γ，
∵∠ADC＝∠DCB+∠DBC+∠DAB+∠DBA＝2y+β+γ，
∴x＝2y+β+γ，
∴α＝2y，
即∠CAD＝2∠CBD，
故选：A．
9．解：共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．
①当AB＝AP，BQ＝PQ，CP＝CQ时；
②当AB＝AP，BP＝BQ，PQ＝QC时，
③当AP＝AB，PQ＝CQ，PB＝PQ时．
④当AP＝AB，PQ＝PC，BQ＝PQ时，
⑤当AP＝BP，CP＝CQ，QB＝PQ时，
⑥当AP＝PB，PB＝BQ，PQ＝CQ时；
⑦当AP＝PB，PB＝PQ，PQ＝QC时．
⑧当AP＝PB，QB＝PQ，PQ＝CC时．
⑨当BP＝AB，PQ＝BQ，PQ＝PC时．
故选：D．
10．解：设∠A＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3......＝P13P14＝P14A，
∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，
∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，
∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，......，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，
即x+7x+7x＝180°，
解得x＝12°，
即∠A＝12°．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∵DB＝8，
∴DE＝8，
故答案为8．
12．解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEC＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
13．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE OM+AF OD＝OD （AE+AF）＝mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故答案是：①②③
14．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴AE＝DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴DE＝AB，
∵AB＝8，
∴DE＝×8＝4．
故答案为：4．
15．解：延长AE交BC于H，作HM∥BD交AC于M，设DE＝x．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠HBE，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠HBE+∠BHA＝90°，
∴∠BAE＝∠BHA，
∴BA＝BH，AE＝EH，
∵BC＝2AB，
∴BH＝CH，
∵HM∥BD，
∴AD＝DM，DM＝CM，
∴BD＝2HM．HM＝2DE，
∴8+x＝4x，
∴x＝，
∴DE＝．
故答案为
16．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA．
∴∠ABD＝180°﹣2∠BAD．
∵∠BAC+∠ABD＝240°，
∴180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠BAD＝240°．
∴∠ABC+∠BAD＝60°．
∴∠AMC＝60°．
∴∠BMH＝60°．
过点B作BH⊥AD，
∴∠MBH＝30°．
∴MH＝BM＝．
∴DH＝DM﹣MH＝．
∵AB＝BD，
∴DH＝AH．
∴AM＝AH﹣MH＝＝5．
故答案为5．
17．解：在DC上截取DE＝BD＝3，连接AE，
∴AE＝AB＝5，
∴∠EAD＝∠BAD＝40°，
∵∠CAD＝65°，
∴∠CAE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝25°，
∴∠CAE＝∠C，
∴CE＝AE＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝5+6＝11，
故答案为：11．
18．解：如图，
在△ABC中，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣40°＝20°，
①当AB＝AP时，∠ABP1＝∠AP1B＝10°，∠ABP3＝∠AP3B＝（180°﹣20°）＝80°，
②当PA＝PB时，∠ABP2＝∠AP2B＝20°
③当BA＝BP时，∠ABP4＝180°﹣20°﹣20°＝140°
综上所述，满足条件的∠ABP的值为10°或80°或20°或140°．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴AB＝FB，
∴∠2＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
20．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）证明：由（1）知，AE＝DE．
又AE＝BF，
∴BF＝DE．
又DE∥AB，
∴∠BFD＝∠EDF．
在△BFD与△EDF中，
，
∴△BFD≌△EDF（SAS），
∴BD＝EF．
21．解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°，
∴∠PAC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣80°）＝50°．
22．证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
23．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
证明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
24．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．