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17.1 勾股定理（1）教案
课题 17.1 勾股定理（1） 单元 第16单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 （1）了解关于勾股定理的一些文化历史背景。（2）能用勾股定理解决一些简单问题。
重点 勾股定理的推导。
难点 利用勾股定理解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？SA+SB=SC由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。拼成如图1所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。证法2 毕达哥拉斯证法证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。（图2、图3）的证明略。 思考自议了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容。 会用面积法证明勾股定理。
讲授新课 提炼概念归纳总结如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.三、典例精讲例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.（1）若a=6,c=10,求b;（2）若a=5,b=12,求c.（3）若c=25,b=15,求a.（1）（2）（3）总结：利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简． 能应用勾股定理进行简单的计算． 勾股定理的内容和证明及简单应用．
课堂检测 四、巩固训练1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c21.C.2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .36 cm 3.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．4.长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35
课堂小结
C
A
B
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17.1 勾股定理（1）学案
课题 17.1 勾股定理（1） 单元 第16单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 （1）了解关于勾股定理的一些文化历史背景。（2）能用勾股定理解决一些简单问题。
重点 勾股定理的推导。
难点 利用勾股定理解决问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
新知讲解 提炼概念 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.典例精讲 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.（1）若a=6,c=10,求b;（2）若a=5,b=12,求c.（3）若c=25,b=15,求a.
课堂练习 巩固训练1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .3.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．4.长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．答案引入思考问题1问题2想一想 SA+SB=SC。拼成如图1所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。证法2 毕达哥拉斯证法证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。（图2、图3）的证明略。提炼概念典例精讲 例1（1）（2）（3）巩固训练1.C.36 cm 3.4.5.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35
课堂小结 小1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
C
A
B
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人教版 八年级下
17.1 勾股定理（1）
新知导入
情境引入
观看下面几幅图片
希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票
观看下面几幅图片
C
B
A
华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特
殊关系？
A
B
C
合作学习
SA+SB=SC
A的面积
(单位面积) B的面积
(单位面积) C的面积
(单位面积)
图1
32=9
32=9
18
想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
赵爽弦图证明勾股定理
=
a
c
数形结合思想
等 积 变 换
b
a
证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ c2=
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
赵爽弦图证明勾股定理
证法2 毕达哥拉斯证法
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = 2ab +c
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
C2
c
a
b
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三，求证：a2 + b2 = c2.
a
a
b
b
c
c
提炼概念
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理
a
b
c
归纳总结
典例精讲
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=6,c=10,求b;
（2）若a=5,b=12,求c.
解：
(1)据勾股定理得:
(2)据勾股定理得:
C
A
B
（3）若c=25,b=15,求a.
(3)据勾股定理得:
勾
股
弦
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
勾
股
归纳概念
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即
一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；
二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；
三化简．
【总结提升】
课堂练习
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
3.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．
4．长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与D重合，折痕为EF，求DE的长．
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，
(2)设a＝3x，c＝5x，
∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，
∴a＝21，c＝35
作业布置
教材课后配套作业题。
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