2021-2022学年冀教版九年级数学下册第30章二次函数 期末综合复习训练（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册第30章二次函数 期末综合复习训练（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 339.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 14:14:02 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《第30章二次函数》期末综合复习训练2（附答案）
1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝x2﹣x+2 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝x2+x+2
2．将二次函数y＝3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣26 B．y＝3（x﹣3）2﹣8
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2
3．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．给出下列四个命题：正确命题的个数是（ ）
（1）若点A在直线y＝2x﹣3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限；
（2）若A（a，m）、B（a﹣1，n）（a＞0）在反比例函数y＝的图象上，则m＜n；
（3）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第三象限；
（4）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1的最大值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．如图，将抛物线y＝﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线y＝﹣5的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＞0；④c﹣4b＞0
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
10．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
11．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
12．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2﹣2x+1，则b＝ ，c＝ ．
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根为 ．
14．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ．
15．已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是 ．
16．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系y＝﹣（x﹣12）2+144（0＜x＜24），则该矩形面积的最大值为 m2．
17．直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO＝S△COB，那么点M的坐标是 ．
18．二次函数y＝x2+bx+c与直线y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞1时，x＜1；④当x2+bx+c＞时，x＞；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的编号是 ．
19．直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
20．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
21．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0 ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．
22．如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB＝∠ACB，直接写出AM的长．
23．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4＝﹣，即m＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式
得：，
解得：b＝﹣1，c＝﹣2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
故选：A．
2．解：y＝3x2﹣6x+1
＝3（x2﹣2x）+1
＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
3．解：根据图象知：
抛物线开口向下，顶点（，3），
∴答案B、D不符合．
把点（0，1）代入答案A、C检验，该点满足C．
故选：C．
4．解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
5．解：（1）联立或，解得或
所以点A的坐标为（3，3）或（1，﹣1），在第一或第四象限正确
（2）反比例函数y＝，在每个象限内y随x的增大而减小，点A在第一象限，而点B不能确定在第几象限，无法比较m、n的大小，错误
（3）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第一象限，错误
（4）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1，可化为y＝﹣2（x+2）2+9
所以二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1的最大值是9，正确．
（1）、（4）正确．
故选：B．
6．解：二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象的开口向下（因为a＝﹣1＜0），对称轴是直线x＝﹣2，
所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
点A关于对称轴对称的点的坐标为（0，y1），
∵﹣1＜0＜2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
7．解：如图，∵y＝﹣x2+x+5中，当x＝0时，y＝5，
∴抛物线y＝﹣x2+x+5与y轴的交点为（0，5），
∵将抛物线y＝﹣x2+x+5图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），
∴新图象与直线y＝﹣5的交点个数是4个，
故选：D．
8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以②正确；
∵x＝﹣＝，
∴2a+3b＝0，所以③错误；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
把2a＝﹣3b代入得﹣6b+2b+c＞0，
∴c﹣4b＞0，所以④正确．
故选：C．
10．解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
11．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
12．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
依题意，得平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，2），
∵平移不改变二次项系数，
∴y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
比较系数，得b＝4，c＝6．
故本题答案为：4，6．
13．解法一：将x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2﹣2ax+c得：a+2a+c＝0．
解得：c＝﹣3a．
将c＝﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a＝0．
∴a（x2﹣2x﹣3）＝0．
∴a（x+1）（x﹣3）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝3．
解法二：已知抛物线的对称轴为x＝＝1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c＝0的两个根为﹣1，3
故答案为：﹣1，3．
14．解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
15．解：依题意得，能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围，
实质上就是根据图象找出函数y1＝kx+m的值小于y2＝ax2+bx+c的值时x的取值范围，
由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置可以知道此时x的取值范围x＞4或x＜1．
故填空答案：x＞4或x＜1．
16．解：由函数关系y＝﹣（x﹣12）2+144（0＜x＜24）可知，
∵二次函数的二次项系数即﹣1＜0，
∴当x＝12时，y最大值＝144．
17．解：在抛物线y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x＝﹣2或3，
即A（﹣2，0），B（3，0）；
当x＝0时，y＝﹣6，
即C（0，﹣6）；
故S△COB＝9，
设点M的纵坐标为y，必有×AO |y|＝9，
解可得y＝±9，
将其代入解析式可得x的值为，（舍去），
故点M的坐标是（，9）．
18．解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
∴b2﹣4c＜0
故①不正确；
当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0
故②正确；
从图象可知当x2+bx+c＞1时，x＜1或x＞2
③不正确；
④过顶点（，）的反比例函数为y＝，
由图象可知，当x2+bx+c＞时，x＞或x＜0，
④错误．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故⑤正确．
故答案为：②⑤
19．解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．
20．方法一：
解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
故答案为：y＝﹣（x+6）2+4．
方法二：B为原点相当于把原函数左移12个单位，也由顶点坐标（6，4）变为（﹣6，4），
故点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
21．解：（1）由已知得解得．
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过D作DE⊥y轴于点E．
抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则物线的顶点坐标为（1，﹣4），则OE＝4，DE＝1．
在直角△ODE中，根据勾股定理即可得到：OD＝＝＝．
则sin∠BOD＝＝．
22．解：（1）将A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：
，
解得．
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，顶点D（2，﹣8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y＝（x﹣2+1）2﹣8+m，
即：y＝（x﹣2+1）2﹣8+m．它的顶点坐标P（1，m﹣8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y＝﹣3x﹣6；直线AC：y＝x﹣6．
当点P在直线AC上时，1﹣6＝m﹣8，解得：m＝3；
在x轴上时m＝8，则m取值范围为3＜m＜8．
（3）由A（0，﹣6）、C（6，0）得：OA＝OC＝6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON＝OB＝2，则∠ONB＝∠ACB＝45°．
∴∠ONB＝∠NBA+∠OAB＝∠ACB＝∠OMB+∠OAB，
即∠NBA＝∠OMB．
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN＝∠M1AB，∠ABN＝∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2＝AN AM1；
由勾股定理，得AB2＝（﹣2）2+（﹣6）2＝40，
又∵AN＝OA﹣ON＝6﹣2＝4，
∴AM1＝40÷4＝10，
OM1＝AM1﹣OA＝10﹣6＝4
OM2＝OM1＝4
AM2＝OA﹣OM2＝6﹣4＝2．
综上所述，AM的长为10或2．
23．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），
S△PAB＝ PH xB＝（﹣m2+12m），
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，
答：△PAB的面积最大值为．
24．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝x2﹣x+2 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝x2+x+2
2．将二次函数y＝3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
A．y＝3（x﹣3）2﹣26 B．y＝3（x﹣3）2﹣8
C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2
3．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5．给出下列四个命题：正确命题的个数是（ ）
（1）若点A在直线y＝2x﹣3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限；
（2）若A（a，m）、B（a﹣1，n）（a＞0）在反比例函数y＝的图象上，则m＜n；
（3）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第三象限；
（4）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1的最大值是9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．如图，将抛物线y＝﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．则新图象与直线y＝﹣5的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＞0；④c﹣4b＞0
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
10．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，2），将抛物线y＝x2﹣3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P，则平移的最短距离为（ ）
A． B．1 C．5 D．
11．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
12．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y＝x2﹣2x+1，则b＝ ，c＝ ．
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根为 ．
14．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是 ．
15．已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是 ．
16．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系y＝﹣（x﹣12）2+144（0＜x＜24），则该矩形面积的最大值为 m2．
17．直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．如果点M在y轴右侧的抛物线上，S△AMO＝S△COB，那么点M的坐标是 ．
18．二次函数y＝x2+bx+c与直线y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞1时，x＜1；④当x2+bx+c＞时，x＞；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的编号是 ．
19．直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
20．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
21．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0 ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．
22．如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB＝∠ACB，直接写出AM的长．
23．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4＝﹣，即m＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式
得：，
解得：b＝﹣1，c＝﹣2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
故选：A．
2．解：y＝3x2﹣6x+1
＝3（x2﹣2x）+1
＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
3．解：根据图象知：
抛物线开口向下，顶点（，3），
∴答案B、D不符合．
把点（0，1）代入答案A、C检验，该点满足C．
故选：C．
4．解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
5．解：（1）联立或，解得或
所以点A的坐标为（3，3）或（1，﹣1），在第一或第四象限正确
（2）反比例函数y＝，在每个象限内y随x的增大而减小，点A在第一象限，而点B不能确定在第几象限，无法比较m、n的大小，错误
（3）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第一象限，错误
（4）二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1，可化为y＝﹣2（x+2）2+9
所以二次函数y＝﹣2x2﹣8x+1的最大值是9，正确．
（1）、（4）正确．
故选：B．
6．解：二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象的开口向下（因为a＝﹣1＜0），对称轴是直线x＝﹣2，
所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
点A关于对称轴对称的点的坐标为（0，y1），
∵﹣1＜0＜2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
7．解：如图，∵y＝﹣x2+x+5中，当x＝0时，y＝5，
∴抛物线y＝﹣x2+x+5与y轴的交点为（0，5），
∵将抛物线y＝﹣x2+x+5图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），
∴新图象与直线y＝﹣5的交点个数是4个，
故选：D．
8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以②正确；
∵x＝﹣＝，
∴2a+3b＝0，所以③错误；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
把2a＝﹣3b代入得﹣6b+2b+c＞0，
∴c﹣4b＞0，所以④正确．
故选：C．
10．解：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣3）2﹣，
当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y＝2代入y＝x2﹣3x+2得：2＝x2﹣3x+2，
解得：x＝0或6，
平移的最短距离是1﹣0＝1，
当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x＝1代入y＝x2﹣3x+2得：y＝×12﹣3×1+2＝﹣，
平移的最短距离是2+＝，
即平移的最短距离是1，
故选：B．
11．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
12．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
依题意，得平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，2），
∵平移不改变二次项系数，
∴y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
比较系数，得b＝4，c＝6．
故本题答案为：4，6．
13．解法一：将x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2﹣2ax+c得：a+2a+c＝0．
解得：c＝﹣3a．
将c＝﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a＝0．
∴a（x2﹣2x﹣3）＝0．
∴a（x+1）（x﹣3）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝3．
解法二：已知抛物线的对称轴为x＝＝1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c＝0的两个根为﹣1，3
故答案为：﹣1，3．
14．解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
15．解：依题意得，能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围，
实质上就是根据图象找出函数y1＝kx+m的值小于y2＝ax2+bx+c的值时x的取值范围，
由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置可以知道此时x的取值范围x＞4或x＜1．
故填空答案：x＞4或x＜1．
16．解：由函数关系y＝﹣（x﹣12）2+144（0＜x＜24）可知，
∵二次函数的二次项系数即﹣1＜0，
∴当x＝12时，y最大值＝144．
17．解：在抛物线y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x＝﹣2或3，
即A（﹣2，0），B（3，0）；
当x＝0时，y＝﹣6，
即C（0，﹣6）；
故S△COB＝9，
设点M的纵坐标为y，必有×AO |y|＝9，
解可得y＝±9，
将其代入解析式可得x的值为，（舍去），
故点M的坐标是（，9）．
18．解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
∴b2﹣4c＜0
故①不正确；
当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0
故②正确；
从图象可知当x2+bx+c＞1时，x＜1或x＞2
③不正确；
④过顶点（，）的反比例函数为y＝，
由图象可知，当x2+bx+c＞时，x＞或x＜0，
④错误．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故⑤正确．
故答案为：②⑤
19．解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．
20．方法一：
解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
故答案为：y＝﹣（x+6）2+4．
方法二：B为原点相当于把原函数左移12个单位，也由顶点坐标（6，4）变为（﹣6，4），
故点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
21．解：（1）由已知得解得．
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过D作DE⊥y轴于点E．
抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则物线的顶点坐标为（1，﹣4），则OE＝4，DE＝1．
在直角△ODE中，根据勾股定理即可得到：OD＝＝＝．
则sin∠BOD＝＝．
22．解：（1）将A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：
，
解得．
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，顶点D（2，﹣8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y＝（x﹣2+1）2﹣8+m，
即：y＝（x﹣2+1）2﹣8+m．它的顶点坐标P（1，m﹣8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y＝﹣3x﹣6；直线AC：y＝x﹣6．
当点P在直线AC上时，1﹣6＝m﹣8，解得：m＝3；
在x轴上时m＝8，则m取值范围为3＜m＜8．
（3）由A（0，﹣6）、C（6，0）得：OA＝OC＝6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON＝OB＝2，则∠ONB＝∠ACB＝45°．
∴∠ONB＝∠NBA+∠OAB＝∠ACB＝∠OMB+∠OAB，
即∠NBA＝∠OMB．
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN＝∠M1AB，∠ABN＝∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2＝AN AM1；
由勾股定理，得AB2＝（﹣2）2+（﹣6）2＝40，
又∵AN＝OA﹣ON＝6﹣2＝4，
∴AM1＝40÷4＝10，
OM1＝AM1﹣OA＝10﹣6＝4
OM2＝OM1＝4
AM2＝OA﹣OM2＝6﹣4＝2．
综上所述，AM的长为10或2．
23．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），
S△PAB＝ PH xB＝（﹣m2+12m），
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，
答：△PAB的面积最大值为．
24．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．