(共25张PPT)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体．金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石．如图就是一块正八面体的钻石．
[问题] 如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等．
正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．
解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；又S底面面积＝×1×＝，所以它的表面积为6＋.
答案：6 6＋
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．( )
(2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差．( )
答案：(1)× (2)√
2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选B V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．
3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选B 正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4.
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
[例1] 如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．
[解] 如图，连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，
所以A1B1＝A1O1＝＝2(m)，
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.
所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝eq \r(PA－A1Q2)＝(m)，
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)，
所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)．
[母题探究]
(变设问)若把本例条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？
解：若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18.故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)．
求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，再利用公式准确计算相关的面积，从而求解．
[跟踪训练]
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
解：如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝ ＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] (链接教科书第115页例2)(1)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A DED1的体积为________；
第(1)题图 第(2)题图
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．
[解析] (1)VA DED1＝VE DD1A＝××1×1×1＝.
(2)V正方体＝23＝8，VS ABCD＝×22×(5－2)＝4.
V＝V正方体＋VS ABCD＝12.
[答案] (1) (2)12
求几何体体积的常用方法
[跟踪训练]
1．一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________cm3，表面积为________cm2.
解析：如图，∵正四棱锥P ABCD的底面边长为3 cm，
∴S正方形ABCD＝18 cm2.
连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3(cm)，
又棱长PC＝5 cm，∴OP＝ ＝4(cm)，
∴VP ABCD＝×18×4＝24(cm3)．
取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝＝(cm)．
S侧＝4××3×＝6(cm2)，S表＝(18＋6)(cm2)．
答案：24 18＋6
2.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，截下一个棱锥C A1DD1，求棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
解：设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
所以VABCD A1B1C1D1＝VADD1A1 BCC1B1＝Sh.
而棱锥C A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C A1DD1的体积为
VC A1DD1＝×S×h＝Sh，
余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.所以棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
1．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为( )
A. m3 B. m3
C．1 m3 D. m3
解析：选B 设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积为V＝××6×＝(m3)．故选B.
2．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是( )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：选D 设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体＝2×4×6＝48.
3．正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A．3a2 B．2a2
C.a2 D．4a2
解析：选C S＝4××a×a＝a2.
4.一个正方体木块ABCD A1B1C1D1的体积为512 cm3，如图，M为棱CB的中点，N为棱BB1的中点，过A，M，N三点的平面切下一个三棱锥B AMN，则三棱锥B AMN的表面积是________cm2.
解析：如图，连接MC1和NC1.易知△AMN≌△C1MN，△ABM≌△C1CM，△ABN≌△C1B1N，△MNB≌△MNB.
因此，三棱锥B AMN的表面积等于正方形BB1C1C的面积，即()2＝64(cm2)．
答案：64
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6(共33张PPT)圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体．
这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体．
[问题] 你会求上述几何体的表面积及体积吗？
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积和体积
圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)；V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)；V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)；V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)
圆柱、圆锥、圆台的关系
(1)侧面积公式间的关系
(2)体积公式间的关系
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．( )
(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C V＝Sh＝×π×3×1＝π.
3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72 B．42π
C．67π D．72π
解析：选C S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C.
4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
答案：6π
知识点二 球的表面积和体积公式
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．球的体积V＝πR3．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( )
答案：(1)× (2)×
2．直径为1的球的体积是( )
A．1 B.
C. D．π
解析：选B R＝，故V＝πR3＝×π×＝.
3．表面积为8π的球的半径是________．
解析：S＝4πR2＝8π，故R＝.
答案：
圆柱、圆锥、圆台的表面积
[例1] 如图，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝16，AD＝4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
[解] 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4，下底半径是16，母线DC＝＝13.故该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π.
[母题探究]
(变设问)在本例条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．
其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD＝4，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加．
[跟踪训练]
1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________．
解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
答案：7
2.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πx＝4πx－x2，x∈(0，6)．
(2)由(1)知当x＝－＝3时，这个二次函数有最大值6π，
∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大为6π cm2.
圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B.
C．64π D．128π
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
[解析] (1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r＝ ，即l＝r，
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，
∴r＝4. ∴l＝4，高h＝ ＝4.
∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A.
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
[答案] (1)A (2)D
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
[跟踪训练]
1．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A．1 B．1∶2
C.∶2 D．3∶4
解析：选D 设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.
2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( )
A.π B．2
C.π D．π
解析：选D S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝.
∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D.
球的表面积和体积
[例3] △ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积．
[解] 因为AB＝4，AC＝2，BC＝6，
所以AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形．
所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆．
由已知球心O与截面圆心的距离为4，
所以球的半径R＝＝5.所以球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝.
因为球的表面积与体积都是球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．
[跟踪训练]
若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为________．
解析：设两个球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得即
整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π(43－23)＝π.
答案：π
与球有关的切、接问题
[例4] (链接教科书第119页例4)(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________；
(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
(1)[解析] 由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.
[答案] π
(2)[解] 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋＝R2，∴R＝a.
从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
球的切、接问题处理策略及常用结论
(1)在处理与球有关的切接问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等；
(2)几个常用结论
①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；
②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；
③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝S底h＝S表R，求球的半径R.
[跟踪训练]
已知四面体S ABC的各棱长均为，求该四面体内切球及外接球的体积．
解：如图，在四面体S ABC中，取底面△ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1⊥O1A.
∵AO1＝××＝1，
∴SO1＝，∴四面体的体积为V＝××()2×＝.
设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，
∴VS ABC＝VO SAB＋VO SBC＋VO SAC＋VO ABC
＝S表·r＝×4××()2×r＝r＝，
∴r＝，
∴内切球的体积为V内＝r3＝×＝.
设外接球的半径为R，则R＝OS＝SO1－OO1＝SO1－r＝－＝，
∴外接球的体积为V外＝πR3＝×＝.
1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为( )
A.π B.π
C.π D．π
解析：选D 因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D.
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：选C 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．
解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
答案：
4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为________．
解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝PC＝r，PB＝2r，∴圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.
答案：3∶2
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