(共37张PPT)平面
新课程标准解读 核心素养
1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象，直观想象
2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整．
[问题] 你知道如此做的原理吗？
知识点一 平面的画法与表示
1．平面的画法
画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
图示
2．平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ；
(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD；
(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)书桌面是平面．( )
(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( )
(3)一个平面的面积是16 cm2.( )
(4)所有的平面都是无限延展的．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面MP
C．平面α
D．平面MNPQ
解析：选A 表示平面不能用一条边的两个端点表示，但可以表示为平面MP. 故选A.
知识点二 点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 Al
点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 Aα
直线l在平面α内 l α
直线l在平面α外 l α
平面α，β相交于l α∩β＝l
如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．
答案：∈ BC
知识点三 平面的基本事实及推论
1．与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2．基本事实1、2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
1．如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．
2．两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？
提示：不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．
3．如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
提示：这些公共点落在同一条直线上．
立体几何三种语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∈/AB，如图．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
[提醒] 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[跟踪训练]
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)点P∈直线AB；(2)点C 直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1 平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB 平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
点、线共面问题
[例2] 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
[证明] 法一(辅助平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．
因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内．
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.
所以a，b，c，l共面．
法二(纳入平面法)：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合；
(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内．
[跟踪训练]
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图．
求证：直线AD，BD，CD共面．
证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．
因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面.
点共线、线共点问题
[例3] 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[证明] 如图，连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，
F为AA1的中点，所以EF綉A1B.
又因为A1B綉D1C，所以EF綉D1C，
所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
[母题探究]
(变条件、变设问)若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D，A，M三点共线．
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上；
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
[跟踪训练]
1．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
证明：若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
又因为平面ABD∩平面CBD＝BD，
由基本事实3可得P∈BD.
2.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线.
平面的交线问题
[例4] 如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱CC1上一点．试说明D1，A，E 3点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线．
[解] 因为A∈面D1AE，A∈面ABCD，
所以面D1AE∩面ABCD≠ ，即面D1AE与面ABCD相交．
延长D1E与DC，设它们相交于F，连接AF，如图所示，则
F∈直线D1E，直线D1E 面D1AE，
F∈直线DC，直线DC 面ABCD，
则F∈面D1AE∩面ABCD，从而AF即为面D1AE与面ABCD的交线．
找两个平面交线的突破口
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此找两个平面的交线的突破口就是找这两个平面的两个公共点．
[跟踪训练]
如图，E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：如图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则平面BED1F∩平面ABCD＝MB.
故直线MB即为所求两平面的交线．
1．经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个 B．可作两个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
解析：选D 当三点在一条直线上时，过这三点能作无数个平面；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．故选D.
2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为( )
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
解析：选B A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．
解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.
答案：α与β的交线上
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
答案：3
5．若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线．
解：∵若α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图．
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9(共28张PPT)
B空间点、直线、平面之间的位置关系
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 逻辑推理、直观想象
在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间中，情况就不同了．例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行．
[问题] 你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线；
(2)异面直线的画法．
2．空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线 在同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线．
1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
答案：C
2．在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
答案：C
3．平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是________．
答案：相交或异面
知识点二 直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2．两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
1．直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？
提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外．
2.观察如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？
提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
答案：D
3．正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：选C 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对．
直线与直线位置关系的判断
[例1] (链接教科书第130页例2)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
[解析] (1)在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线；
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
[跟踪训练]
已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解析：选D 若a α，b β，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；若a与b异面，b与c异面，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故B错误；若a，b不同在平面α内，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；由异面直线的定义，知D正确.
空间直线与平面位置关系的判断
[例2] 给出下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，b 平面α，则a∥α；
③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；
④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.
其中说法正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b 平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误．
对于③，比如在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确．
对于④，当a α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误．
[答案] B
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
[跟踪训练]
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．
解：B1C 平面BCC1B1，
B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．
BD1与6个面都相交.
平面与平面位置关系的判断
[例3] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
[解析] 如图所示，a α，b β，a∥b.
由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
[答案] C
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面．
由图知这两个平面可能平行，也可能相交．
2．(变条件)若将条件改为：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行，
由图知，平面α与平面β平行或相交．
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
[跟踪训练]
如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
解：∵几何体ABC A1B1C1为三棱柱，
∴平面ABC与平面A1B1C1平行．
∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
∴平面ABC与平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D.
2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．
3.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，与AA1异面的棱是( )
A．AB B．BB1
C．DD1 D．B1C1
解析：选D AA1∥BB1，AA1∥DD1，AA1∩AB＝A，AA1与B1C1是异面直线．
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解析：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
答案：(1)平行 (2)相交
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