(共26张PPT)直线与直线平行
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系 逻辑推理
2.了解基本事实4及定理(等角定理) 直观想象
把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示．
[问题] (1)为什么这些折痕互相平行？
(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
知识点一 基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行．
1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：选C 假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.
2．已知在棱长为a的正方体ABCD A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
解析：如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MN綉AC，
由正方体的性质可得AC綉A′C′，
∴MN綉A′C′，
即MN与A′C′平行．
答案：平行
知识点二 等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．因此等角定理用来证明两个角相等或互补．
等角定理中，什么情况下两角互补？
提示：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，则这两个角互补．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行．( )
(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．( )
答案：(1)× (2)√
2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
解析：选C 当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.故选C.
证明直线与直线平行
[例1] (链接教科书第134页例1)如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
[证明] (1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
(3)基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
[跟踪训练]
1.如图所示，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
2．如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綉A1D1.
∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綉C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉FD.
又B1E綉C1Q，∴B1E綉FD，
故四边形B1EDF为平行四边形.
等角定理及应用
[例2] (链接教科书第135页练习3题)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行；
(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补．
[跟踪训练]
1.在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1)EF綉E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1(图略)，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF綉BD，同理E1F1綉B1D1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，因为AA1綉DD1，AA1綉BB1，所以B1B綉DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綉B1D1，所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，因为MF1綉B1C1，B1C1綉BC，所以MF1綉BC，所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M綉EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1对应边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
2.如图所示，在三棱锥A BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足＝＝.求证：△EFG∽△BCD.
证明：在△ABC中，∵＝，
∴EF∥BC，且＝.
同理，EG∥BD，且＝.∴＝.
又∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，
∴∠FEG＝∠CBD.
又＝，∴△EFG∽△BCD.
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：选D ∵空间两个角α，β的两边对应平行，
∴这两个角相等或互补，
∵α＝60°，
∴β＝60°或120°.故选D.
2.如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明：(1)∵ABCD A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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6(共18张PPT)第二课时 直线与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系 直观想象
当直线l∥平面α时，l与α没有公共点．此时，若m α，则l∩m＝ .这就是说，l与m的位置关系是平行或异面．
[问题] 那么在什么情况下l与m平行呢？
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
对线面平行性质定理的再理解
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用：
①线面平行 线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l∥平面α，且b α，则l∥b.( )
(2)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( )
答案：(1)× (2)×
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
解析：选D 由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.
3.如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
解析：选B ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
直线与平面平行性质的应用
[例1] (链接教科书第138页例3)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
[证明] 因为AB∥平面 MNPQ，
平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB 平面 ABC，
所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得 MQ∥NP.
所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
[母题探究]
(变条件，变设问)若将本例变为：如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.求证：四边形BCFE是梯形．
证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，且BC 平面BCFE，所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
1．利用线面平行性质定理解题的步骤
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．
[跟踪训练]
过正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.
证明：如图所示， 因为CC1∥BB1，CC1 平面BEE1B1，BB1 平面BEE1B1，
所以CC1∥平面BEE1B1，
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
所以CC1∥EE1.
由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.
与线面平行性质定理有关的计算问题
[例2] 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
[解] 如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
∵SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，
∴SA∥FG，
∴＝，
∵AE∥BC，
∴△GEA∽△GBC，
∴＝＝，
∴＝＝，即SF＝SC，
∴λ＝.
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
(3)利用所得关系计算求值．
[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．
解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点．
∴EF＝AC＝×2＝.
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A 由长方体性质，知EF∥AB.
∵AB 平面ABCD，EF 平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.
3.如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：因为EH∥FG，EH 平面BCD，FG 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
又因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
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4(共19张PPT)
B
C
B第一课时 直线与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行 直观想象
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
[问题] 你能给出判定的依据吗？
知识点 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
线面平行判定定理的再理解
(1)线面平行的判定定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；
(2)线面平行的判定定理的作用：证明线面平行；
(3)应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面一定平行．( )
(2)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
(3)若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点．( )
(4)平行于同一平面的两条直线平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a α，b α，a∥b
解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．
线面平行判定定理的理解
[例1] 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
[答案] D
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a α；
(2)直线b在平面α内，即b α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
[跟踪训练]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是( )
A．BA1 B．BD1
C．BC1 D．BB1
解析：选B 如图所示，连接BD，设AC∩BD＝O，则O是BD的中点，连接OE，∵在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
∴OE∥BD1，
又OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.
直线与平面平行的判定
[例2] (链接教科书第137页例2)
如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.求证：MN∥平面SBC.
[证明] 如图，连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
[提醒] 线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”；
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
[跟踪训练]
1．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明：如图，连接BC1，
则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又∵MN 平面PAD，AG 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
1.如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D.
2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β
D．MN∥β或MN与β相交或MN β
解析：选C 若平面β是△ABC所在的平面，则MN β.若MN β，则MN∥β.故选C.
3.如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，求证：MN∥平面ADE.
证明：∵M，N分别是BF，BC的中点，
∴MN∥CF.又∵四边形CDEF为矩形，
∴CF∥DE.∴MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
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4(共23张PPT)第二课时 平面与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题 直观想象
当平面α∥平面β时，α与β没有公共点，此时，若l α，m β，则l∩m＝ ，这就是说，l与m的位置关系是异面或平行．
[问题] 那么在什么情况下，l与m平行呢？
知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
对两平面平行性质定理的再理解
(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(2)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？
提示：平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.( )
(2)若平面α∥平面β，平面γ∥平面β，则平面α∥平面γ.( )
答案：(1)× (2)√
2．已知长方体ABCD A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A 因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故选A.
两平面平行性质定理的应用
[例1] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
[证明] 因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
应用面面平行性质定理的基本步骤
[跟踪训练]
如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在 A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在 A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′ 平面C′D′DC，C′D′ 平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理可得A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
与两平面平行的性质定理有关的计算
[例2] (链接教科书第141页例5)设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，求SD的长．
[解] 根据题意作出如下图形：
∵AB，CD交于S点，∴AB与CD确定一个平面，
又∵平面α∥平面β，∴AC∥DB，∴△SAC∽△SBD，
∴＝，∵AS＝8，BS＝6，CS＝12，∴＝，
∴SD＝9.
关于平行平面分线段成比例定理
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理．
[跟踪训练]
如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长；
(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，
即＝.所以CD＝ cm，
所以PD＝PC＋CD＝(cm)．
(3)如图，由(1)得AC∥BD，
所以△PAC∽△PBD.
所以＝，
即＝.
所以＝，所以PD＝ cm.
所以CD＝PC＋PD＝3＋＝(cm).
线线、线面、面面平行的转化
[例3] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1.
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，AD 平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1.
因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
空间中各种平行关系相互转化的示意图
[注意] 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系．
[跟踪训练]
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
证明：如图，取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.因为EF∥DB，所以GI∥BD.因为GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，GI，HI 平面GHI，BD，BC 平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
1．如图，过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
解析：如图所示，连接D1P，B1P，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BC，C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：如图：
取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，FE1，EE1 平面EE1F，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
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6(共22张PPT)第一课时 平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行 直观想象
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．
[问题] (1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
语言
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件
(1)平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P；
(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．( )
答案：(1)× (2)√
2．在正方体中，相互平行的面不会是( )
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
解析：选D 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
平面与平面平行判定定理的理解
[例1] 已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
[解析] 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D.
[答案] D
1．在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
2．借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
[跟踪训练]
设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是( )
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：选C 要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
平面与平面平行的证明
[例2] (链接教科书第140页例4)如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
[证明] (1)因为B1B綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C，B1D1 平面B1D1C，
所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.
如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，
所以B1E∥DF，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.
[母题探究]
(变条件)把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD
解：当F满足CF＝CC1时，两平面平行，下面给出证明：
如图，在D1D上取点M，且DM＝DD1，
连接AM，FM，则AE綉D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥AM.
同理，FM綉CD，又因为AB綉CD，所以FM綉AB，
从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，
即有D1E∥BF.
又BF 平面FBD，D1E 平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1B綉D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，
又BD 平面FBD，B1D1 平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[跟踪训练]
1.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明：(1)如图，连接B1D1.
∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，
连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MF綉AD.
∴四边形ADFM是平行四边形．∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
2．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
1．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由图①和图②可知，α与β平行或相交．
2.如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
证明：∵D1Q綉CD，AB綉CD，
∴D1Q綉AB，
∴四边形D1QBA为平行四边形，∴D1A∥QB.
∵Q，P分别为D1C1，C1C的中点，∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
∴平面AD1C∥平面BPQ.
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