(共19张PPT)
(:)C直线与直线垂直
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理
2.会求两异面直线所成的角 直观想象
如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．
[问题] (1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？
知识点 异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°．
3．垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
1．两条直线垂直，一定相交吗？
提示：不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不相交．
2．两条不重合的直线所成的角是0°时，这两直线的位置关系是什么？
提示：平行．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．( )
(2)异面直线a与b所成角可以是0°.( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________.
解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
答案：60°
3．已知正方体ABCD EFGH，则AH与FG所成的角是________．
解析：如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
答案：45°
求异面直线所成的角
[例1] 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
[解] 如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
求两异面直线所成角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
(2)计算角：求角度，常利用三角形；
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
[注意] 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行直线若在外，补上原体在外边．
[跟踪训练]
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角或其补角．
因为tan∠A1AC1＝＝
＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.
证明直线与直线垂直问题
[例2] 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
[证明] 如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
证明空间中两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
[跟踪训练]
对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状．
解：如图所示，∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
PQ∥AC，且PQ＝AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．
1．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．
解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
答案：AB，A1B1
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为________．
解析：连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
答案：60°
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，AO1，∵ABCD A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.
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4(共28张PPT)第二课时 直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象
[问题] (1)如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
(2)如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
在长方体ABCD A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
提示：棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
解析：选C 由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.
解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
答案：6
知识点二 线面距与面面距
1．直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )
(2)到已知平面距离相等的两条直线平行．( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选B 如图，连接AC，与DB交于点O，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝AC＝.
3．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
答案：4
直线与平面垂直的性质应用
[例1] (链接教科书第155页练习3题)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[跟踪训练]
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
空间中的距离问题
[例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．
[解] 如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，连接GH，作OK⊥GH于点K.
∵四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，H为AO的中点．
∵BD∥EF，BD 平面GFE，
∴BD∥平面GFE.
∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离．
∵BD⊥AC，∴EF⊥AC.
∵GC⊥平面ABCD，∴GC⊥EF.
∵GC∩AC＝C，∴EF⊥平面GCH.
∵OK 平面GCH，∴EF⊥OK.
∵OK⊥GH，GH∩EF＝H，
∴OK⊥平面GEF，即OK的长就是点B到平面GEF的距离．∵正方形ABCD的边长为4，CG＝2，
∴AC＝4，HO＝，HC＝3.
在Rt△HCG中，HG＝＝.
在Rt△GCH中，OK＝＝.
故点B到平面GEF的距离为.
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变，如何求直线BD到平面GEF的距离呢？
解：先证明BD∥平面GEF，将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离，过程和答案与例题一致．
求点到平面的距离一般有两种方法
(1)构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解；
(2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解．
[跟踪训练]
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，
由等体积法可得VC1 AB1D1＝VA B1C1D1，
即h·××22×sin 60°＝××××，
解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
直线与平面垂直关系的综合应用
[例3] 斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
[证明] (1)因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
[跟踪训练]
如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( )
A．b⊥α B．b α
C．b∥α D．b∥α或b α
解析：选D 当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直．因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C. D．
解析：选D 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故选D.
3.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
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7(共30张PPT)第一课时 直线与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成角 直观想象
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
[问题] (1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直
1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
2．概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
3．性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
提示：不一定．
如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：选A 因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，
又m α，所以l⊥m，
所以直线l与m不可能平行．
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
对线面垂直判定定理的再理解
(1)该定理有五个条件：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可．但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过a，b的交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活；
(2)“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直．
定理中的“相交”能去掉吗？
提示：不能．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：选C 由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
解析：选CD 对于A、B，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．C、D是正确的．故选C、D.
知识点三 斜线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的交点A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
取值范围 0°≤θ≤90°
对斜线和平面所成的角的定义的理解
(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
答案：45° 45° 0°
线面垂直概念的理解
[例1] (链接教科书第151页例3)下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
[解析] 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．
[答案] ③④
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直；
(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．
[跟踪训练]
如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
直线与平面垂直的判定
[例2] (链接教科书第152页练习2题)如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
[证明] ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
[母题探究]
(变条件，变设问)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
线线垂直和线面垂直的相互转化
[跟踪训练]
1.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.证明：B1C⊥AB.
证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.
因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
2.如图，在四面体PABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.
证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，
∴PB⊥平面CEF.
直线与平面所成的角
[例3] (链接教科书第152页例4)如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
[解] 由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[跟踪训练]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．
解：(1)如图所示，连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
∵DB＝AB，D1B＝AB，
∴cos∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角，
在Rt△EA1F中，
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n β D．m⊥n，且n∥β
解析：选B A中，由α∥β，且m α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1，
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，
则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
3.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
证明：∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1 平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O，
又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
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7(共21张PPT)第二课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
(1)在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直；
(2)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
[问题] 通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
对面面垂直的性质定理的再理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直；
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
平面与平面垂直性质定理的应用
[例1] (链接教科书第160页例9，例10)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
[证明] ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG 平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
[跟踪训练]
1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.
证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.
又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
2.如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.
∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB 平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE 平面EBD，
∴AB⊥DE.
垂直关系的转化
[例2] 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
[跟踪训练]
如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D ABC，如图②所示．求证：BC⊥平面ACD.
证明：在题图①中，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，∴AC＝2.又CD∥AB，AB＝4，∴BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.
法一：在题图②中取AC的中点O，连接OD(图略)，则DO⊥AC.
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD 平面ACD，∴OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩OD＝O，∴BC⊥平面ACD.
法二：∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．l β D．平行或l β
解析：选D 如图l∥β或l β.故选D.
2．如图所示，三棱锥P ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
解析：设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形．
答案：直角
3.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，
四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，
所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
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5(共24张PPT)第一课时 平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．
[问题] 你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
知识点一 二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
2．概念
二面角的棱 二面角的面 记法
AB(l) α，β 二面角α AB β；二面角α l β；二面角P l Q；二面角P AB Q
3．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
(2)范围：0°≤α≤180°；
(3)直二面角：平面角是直角的二面角．
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．( )
(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．( )
答案：(1)√ (2)√
2.如图所示的二面角可记为( )
A．α β l B．M l N
C．l M N D．l β α
解析：选B 根据二面角的记法规则可知B正确．故选B.
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角D1 AB D的平面角的大小是________．
解析：∵AB⊥平面ADD1A1，
∴AB⊥AD，AB⊥AD1，
∴∠D1AD为二面角D1 AB D的平面角．
易知∠D1AD＝45°.
答案：45°
知识点二 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；
(2)画法：
(3)记作：．
2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.( )
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．垂直 D．相交不垂直
解析：选C 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
3．在长方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C 与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个．
二面角大小的计算
[例1] 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C的大小；
(2)求二面角B PA C的大小．
[解] (1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A PD C的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B PA C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B PA C的大小为45°.
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
[注意] 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．
[跟踪训练]
如图，已知D，E分别是正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l，求二面角A1 l D的大小．
解：如图所示，延长DE交A1B1的延长线于点F，连接C1F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线l.
因此，所求二面角A1 l D即为二面角D C1F A1.
∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E，
∴E，B1分别为DF，A1F的中点．
∵A1B1＝B1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1 平面A1B1C1，
∴CC1⊥FC1.
又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，
∴FC1⊥平面AA1C1C.
∵DC1 平面AA1C1C，∴FC1⊥DC1.
∴∠DC1A1是二面角D C1F A1的平面角．
由A1D＝B1C1知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°.
故所求二面角的大小为45°.
平面与平面垂直的证明
[例2] (链接教科书第157页例7)如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明] 法一(利用定义证明)：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二(利用判定定理)：因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[跟踪训练]
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1 平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
1．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：选C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
2.如图，在四面体P ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，则二面角D BC A的大小为________．
解析：取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)．
∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，
又AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，∴BC⊥平面PAE.
又DE 平面PAE，∴BC⊥DE，
∴∠AED即二面角D BC A的平面角．
又由条件，知AE＝PE＝AB＝，AD＝PA＝，
∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝＝.
又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，
即二面角D BC A的大小为60°.
答案：60°
3．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
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