第一章 特殊平行四边形 复习课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第一章 特殊平行四边形
本章总结提升
第一章 特殊平行四边形
知识结构关系　
重点模块总结
综合能力提升
平行四边形
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
有一个角是直角
菱形
正方形
矩形
有一个角是直角
有一组邻边相等
特殊平行四边形
知识结构关系　
模块1　菱形的性质与判定
菱形的性质与判定有哪些？它与平行四边形有何关系？你能用几种方法计算菱形的面积？
重点模块总结
例1 如图1－T－1所示，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，与BD交于点O，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
图1－T－1
[解析] (1)根据矩形的性质得出AD∥BC，根据OB＝OD和AD∥BC推出DM＝BN，从而得出四边形BMDN是平行四边形，进而根据MN⊥BD推出四边形BMDN是菱形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO.
∵MN是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，BD⊥MN.
在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，OD＝OB，∠DOM＝∠BON，
∴△DOM≌△BON，∴DM＝BN.
又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形．
又∵MN⊥BD，∴ BMDN是菱形．
例1 如图1－T－1所示，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，与BD交于点O，连接BM，DN.
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
图1－T－1
[解析](2)根据菱形的性质求出MD＝MB，
在Rt△AMB中，根据勾股定理列方程求解．
解：(2)∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD.
设MD＝x，则MB＝MD＝x，AM＝8－x.
在Rt△AMB中，MB2＝AM2＋AB2，
即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，
即MD的长为5.
模块2　矩形的性质与判定
矩形的性质与判定有哪些？它与平行四边形有何关系？矩形与菱形有何异同点？利用矩形对角线的性质可得到直角三角形的哪个性质？
例2 如图1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD相交于点G.
(1)求证：AP＝DG；
(2)求线段CG的长．
图1－T－2
解： (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.
根据题意，得△ABP≌△EBP，
∴AP＝EP，∠A＝∠E＝90°，AB＝BE＝8.
在△ODP和△OEG中，
∵∠D＝∠E，OD＝OE，∠DOP＝∠EOG，
∴△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG，PD＝GE，
∴OD＋OG＝OE＋OP，即DG＝EP，∴AP＝DG.
例2 如图1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD相交于点G.
(2)求线段CG的长．
图1－T－2
解： (2)设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6－x，DG＝x，
∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.
在Rt△BCG中，根据勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，
即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴CG＝8－4.8＝3.2.
【归纳总结】解决矩形中折叠问题的关键点：
(1)抓住折叠的本质：①折起部分与重合部分是全等的；②利用轴对称的性质(对称轴垂直平分对应点所连线段)．
(2)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系．
(3)结合三角形全等、勾股定理等知识，设出恰当的未知数，列出方程求解．
例3 如图1－T－3，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，
求四边形EFGH的面积．
图1－T－3
例3 如图1－T－3，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H.
(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，
求四边形EFGH的面积．
图1－T－3
例4 如图1－T－4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(1)求证：AE＝EF；
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，
∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．
图1－T－3
例4 如图1－T－4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，
∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．
图1－T－3
解：(2)∵AE是Rt△ABD的斜边BD上的中线，
∴AE＝DE，∴∠ADB＝∠DAE，∴∠AEB＝2∠ADB＝2α.
∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥DC，∴∠FEB＝∠CDB＝β.
由(1)知AE＝EF，又AF＝AE，
∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
即∠AEF＝∠AEB＋∠FEB＝2α＋β＝60°，
∴2α＋β＝60°.
模块3　正方形的性质与判定
正方形的性质与判定有哪些？四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有怎样的关系？
例5 如图1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，
CD，AD上，AH＝2，连接CF.
(1)若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
(2)若DG＝6，求△FCG的面积．
图1－T－3
[解析] (1)通过证明Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG＝∠AEH，从而得到∠GHE＝90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；
解：(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG＝EH.
∵AH＝2，DG＝2，∴DG＝AH.
在Rt△DHG和Rt△AEH中，∵HG＝EH，DG＝AH，
∴Rt△DHG≌Rt△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.
又∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．
例5 如图1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，
CD，AD上，AH＝2，连接CF.
(2)若DG＝6，求△FCG的面积．
图1－T－3
[解析](2)过点F作FQ⊥CD于点Q，连接GE，利用
AB∥CD得到∠AEG＝∠QGE，再根据菱形的性质得HE＝FG，HE∥FG，则∠HEG＝∠FGE，所以∠AEH＝∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH＝QF＝2，然后根据三角形面积公式求解．
【归纳总结】正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形只需要保证它既是矩形又是菱形即可．
例6 如图1－T－6①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，F在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接DM，FM.
(1)求证：DM⊥FM，DM＝FM；
(2)如图1－T－6②，若将“正方形
ABCD和正方形CGEF”改为“菱形
ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD＝
∠G＝120°，其他条件不变，则DM和FM又有怎样的位置关系和数量关系？直接写出结论．
图1－T－6
综合能力提升
解：(1)证明：如图，延长DM交GE于点N，连接DF，NF.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.∵M是AE的中点，∴AM＝EM.
又∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，
∴DM＝NM，AD＝EN.∵AD＝CD，∴CD＝EN.
又∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，
∴△DCF≌△NEF，∴∠CFD＝∠EFN，DF＝NF.
∵DM＝NM，∴FM平分∠DFN，且DM⊥FM.
∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，即∠DFN＝90°.
∵DM＝NM，∴FM是Rt△DFN斜边上的中线，∴DM＝FM.
例6 如图1－T－6①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，F在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接DM，FM.
(2)如图1－T－6②，若将“正方形
ABCD和正方形CGEF”改为“菱形
ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD＝
∠G＝120°，其他条件不变，则DM和FM
又有怎样的位置关系和数量关系？直接写出结论．
图1－T－6
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