专题02一元二次函数、方程和不等式
一．构建知识框架
二．知识点复习
知识点一 不等关系
1．两个实数比较大小的依据
(1)a＞b a－b＞0；(2)a＝b a－b＝0；(3)a＜b a－b＜0.
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2)．
例1.若，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
解析：B 对于A，取，，满足，但，故A错误；对于B，因为幂函数在上单调递增，所以若可得，故B正确；对于C，取，，满足，但，故选项C错误；对于D，取，，满足，但，故选项D错误。故选B。
例2.(易错题)若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________．
解析：由－＜ α ＜，－＜－β ＜，α ＜ β，得－π＜ α－ β＜0.
知识点二 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实数根x1， x2(x1
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1例1.已知1与2是三次函数的两个零点.
（1）求的值；（2）求不等式的解集.
解析：（1）由函数的零点可得的两个根为1、2，则有，
解得．
由（1）知，代入不等式得
解得．
故不等式的解集为．
例2.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元）。一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为
A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元
解析：C 利润，故最大利润为159万元。
例3.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0.
所以当a>1时，解为当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a>1时，不等式的解集为.
知识点三 基本不等式
一.基本不等式：≤
1．基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0.
2．等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．
3．其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
二.利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
例1. 已知，且，则的最大值是_________.
解析：2 所以，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
例2.（多选）已知，且，则下列说法正确的是
A．的最小值为9 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为6
解析：因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，A正确；
，即，当且仅当，即，时等号成立，B错；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D正确。故选ACD。
三．专项检测
A级——基础达标
1.已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解析：（当且仅当时取“=”）．故选C．
2．若关于x的不等式(m＋1)x2－mx－1＞0的解集为(1,2)，则m＝( )
A. B．－ C．－ D．
解析：选B 由题意，得解得m＝－.故选B
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
解析：B 对于A选项，若且，则，该选项错误；
对于D选项，取，，，，则，均满足，但，D选项错误；
对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；
对于B选项，由不等式的性质可知该选项正确.
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2)
解析 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－25．(易错题)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋＞x B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R ) D.＞1(x∈R)
解析：选C 选项A中，x2＋≥x(当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；
选项B中，sin x＋≥2(sin x∈(0,1])，sin x＋≤－2(sin x∈[－1,0))，故选项B不正确；
选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；
选项D中，∈(0,1](x∈R)，故选项D不正确．
6.珠海某生物试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是千元.
（1）要使生产该产品2小时获得利润等于30千元，求的取值；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，求生产速度的值？并求此最大利润.
解析：（1）由题意可知：，
∴，∴或，
又因为，∴.
（2）∵，，
令，∴，
当即时，∴千元.
答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元.
B级——综合应用
1．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取等号．因此，＋＋的最小值为4.
2.已知函数，，当，的图象总在图象的上方，则的取值范围为_________.
解析： 由题意可得，则，从而有，而，当时取“”，所以
3.已知函数f(x)＝x2＋mx－1.
(1)若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)≤m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得即解得－＜m＜0，
所以实数m的取值范围是.
(2)法一：由题意得m≥f(x)min＝－－1，解得m≤－4或m≥－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[－1，＋∞)．
法二：由题意得x2＋mx－1－m≤0有解，所以Δ≥0，即m2＋5m＋4≥0.解得m≤－4或m≥－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[－1，＋∞)．
4. 已知.
（1）当时，写出的单调区间（不用证明）；
（2）解关于不等式.
解析：（1）当时，，
的单调增区间为，的单调减区间为.
（2）方程的两个根为，，
当即或时，
此时不等式的解为，
当即时，
此时不等式的解为，
当即或时，
此时不等式的解为.专题02一元二次函数、方程和不等式
一．构建知识框架
二．知识点复习
知识点一 不等关系
1．两个实数比较大小的依据
(1)a＞b a－b＞0；(2)a＝b a－b＝0；(3)a＜b a－b＜0.
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2)．
例1.若，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
例2.(易错题)若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________．
知识点二 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实数根x1， x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1例1.已知1与2是三次函数的两个零点.
（1）求的值；（2）求不等式的解集.
例2.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元）。一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为
A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元
例3.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
知识点三 基本不等式
一.基本不等式：≤
1．基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0.
2．等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．
3．其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
二.利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
例1. 已知，且，则的最大值是_________.
例2.（多选）已知，且，则下列说法正确的是
A．的最小值为9 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为6
三．专项检测
A级——基础达标
1.已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式(m＋1)x2－mx－1＞0的解集为(1,2)，则m＝( )
A. B．－ C．－ D．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2)
5．(易错题)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋＞x B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R ) D.＞1(x∈R)
6.珠海某生物试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是千元.
（1）要使生产该产品2小时获得利润等于30千元，求的取值；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，求生产速度的值？并求此最大利润.
B级——综合应用
1．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
2.已知函数，，当，的图象总在图象的上方，则的取值范围为_________.
3.已知函数f(x)＝x2＋mx－1.
(1)若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)≤m有解，求实数m的取值范围．
4. 已知.
（1）当时，写出的单调区间（不用证明）；
（2）解关于不等式.