江苏省沭阳县修远高级中学校2021-2022学年高一上学期12月第二次阶段测试数学试卷（PDF版含答案）

修远中学 2021-2022 学年度第一学期第二次阶段测试
高一数学试题
一．单项选择题（共 8小题，每题只有一个选项正确，选对得 5分，错选、不选不得分）
1．已知 M＝{x|x2+x﹣2＜0}，N＝{x|x≤3}，则（ RM）∩N＝（ ）
A．[1，3] B．（1，3] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，3] D．（﹣∞，﹣2]∪（1，3]
2．已知实数 x、y满足 xy＝1，则 x2+y2的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．小于 90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角
D．终边相同的角一定相等
4．函数 f（x）＝x2﹣4x（x∈[0，5]）的值域为（ ）
A．[﹣4，+∞） B．[﹣4，5] C．[﹣4，0] D．[0，5]
5 2．已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) + 2在（0，+∞）上单调递减，则 m的值为（ ）
A．0 B．1
C．0或 1 D．﹣1
6．已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，若 f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则
下列关系式中成立的是（ ）
A．f（﹣1）＜f（﹣2） B．f（1）＜f（2）
C．f（﹣1）＜f（2） D．f（﹣1）＞f（2）
7．设 a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
8．已知函数 f（x）＝2ax﹣1在区间[0，2]上的最大值为 7，则 g（x）＝logax在区间[1，4]
上的最大值为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
二．多选题（共 4小题，每题有多个选项正确，全选对得 5分，选不全得 2分，错选、不
选得 0分）
9．若 x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（ ）
A．lgx lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2
1
C． = D． =
10．下列结论正确的是（ ）
A 1 1．当 x＞0时， + ≥2 B．当 x≥3时，x+ 的最小值为 2
C．当 0＜x≤2时，x 1 无最大值 D x 0 x 1 +
1
．当 ＞ 且 ≠ 时， ≥ 2
11．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）= 2 3与 g（x）＝x 2
1( ≥ 1)
B．f（x）＝|x﹣1|，g（x）=
1 ( ＜1)
C．f（x）＝（2x）2与 g（x）＝4x
D．f（x）＝x0与 g（x）＝1
12．下列函数中，图象关于 y轴对称的是（ ）
A f x x4 3x2 B ( ) = ． （ ）＝ ﹣ ． | |
3 3 ， ＞0
C． ( ) = ( 2 + 1 1) D． ( ) =
3 + 3 ， ＜0
三．填空题（共 4小题，每题 5分）
13．已知不等式 ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数 a＝ ．
14．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子．如
图，某折扇的扇骨长度 OA＝15cm，扇面长度 AB＝10cm，已知折
3
扇展开所对圆心角的弧度为 ，则扇面的面积为 ．
2
(2 ) + 1， ＜1
15．已知函数 f（x）= 在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数 a的取
， ≥ 1
值范围是 ．
16．已知函数 f（x）满足：f（x+2）是偶函数，若函数 y＝|x2﹣4x﹣5|与函数 y＝f（x）图
象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则横坐标之和 x1+x2+…+xn＝ ．
四．解答题（共 6小题。其中 17题 10分，其余各题 12分）
17．记函数 f（x）= 3 + 1的定义域为集合 M，函数 g（x）＝x2﹣4x+3的值域
为集合 N，求：
（1）M，N；
（2）M∩N，M∪N．
18 6．（1）已知点 P（1，t）在角θ的终边上，且 = 3 ． 求 t和 cosθ的值；
（2）计算：（lg2）2+lg5×lg20+lg0.1；
19．已知 y＝f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求 f（1），f（﹣2）的值；
（2）求 f（x）的解析式；
（3）若 x∈[﹣2，2]，求 y＝f（x）的最值．
20 ( ) = + 4．已知函数 ．
（1）证明函数 f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明 f（x）在（2，+∞）上的单调性；
2
（3）当 x∈[﹣5 +2 +5，﹣3]时，求 ( ) = +1 的值域．
21．某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得
到该产品的性能指标值 y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量 x（单
1
位：克）的关系：当 0≤x＜8时，y是 x的二次函数；当 x≥8时， = ( ) 2 ．测得的
部分数据如表所示：
x 0 2 4 12 …
y ﹣4 4 4 1 …
4
（1）求 y关于 x的函数解析式；
（2）求该新型合金材料的含量 x为何值时产品性能达到最佳．
1
22．已知函数 f（x）＝log2（ +a）．
﹣ ﹣
（1）设 f 1（x）是 f（x）的反函数，当 a＝1时，解不等式 f 1（x）＜1；
（2）若关于 x的方程 f（x）+log2（x2）＝1的解集中恰好有一个元素，求实数 a的值；
1
（3）设 a＞0，若 t∈[ ，1]，对任意 x1，x2∈[t，t+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求 a的取2
值范围．
命题、审校人：司强
修远中学 2021-2022 学年度第一学期第二次阶段测试
高一数学试题
参考答案与评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C B A D B C ABD BCD BC ABC
填空：
1 3
13. 12 14. 150cm
2 15. （ ，2） 16. 2n
2
解答：
17. 解：（1 3 + ≥ 0）由题意得： 1 ≥ 0，
解得：﹣3≤x≤﹣1，即 M＝[﹣3，﹣1]，
由题意得：g（x）＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，
得到 N＝[﹣1，+∞）；———————————— 6分
（2）∵M＝[﹣3，﹣1]，N＝[﹣1，+∞），
M∩N＝{﹣1}，M∪N＝[﹣3，+∞）．—————— 10分
18. 解：（1）由三角函数的定义可得 = 2 =
6
3 ，则 t＜0，解得 = 2，1+
= 1 3所以， = ；—————————— 6分
1+2 3
（2）原式＝（lg2）2+lg5×lg（2×10）+lg0.1，
＝（lg2）2+lg5×lg2+lg5﹣1，
＝lg2（lg2+lg5）+lg5﹣1，
＝0；——————————————————— 6分
19. 解：（1）当 x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
f（1）＝1﹣2＝﹣1，
又 y＝f（x）是定义在 R 上的奇函数，
可得 f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4﹣4）＝0；—————— 3分
（2）当 x＝0时，f（0）＝0；
当 x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝x2+2x，
又 f（﹣x）＝﹣f（x），
可得 x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣2x，———— 5分
2 2 ， ≤ 0
所以 f（x）= ；————————— 7分
2 2 ， ＞0
（3）当 x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
x＝﹣1时，f（x）取得最大值 1，x＝0时，f（x）取得最小值 0；—— 9分
当 x∈（0，2]时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
x＝1时，f（x）取得最小值﹣1，x＝2时，f（x）取得最大值 0．—— 11分
综上：当 x∈[﹣2，2]时，y＝f（x）的最小值为﹣1，最大值为 1．—— 12分
20. 解：（1 4）证明：函数 ( ) = + 的定义域{x|x≠0}，关于原点对称，
f 4（﹣x）＝﹣x+ = f（x），可得 f（x）为奇函数；—————— 3分
（2）f（x）在（2，+∞）上递增．———————— 4分
证明：设 x1，x2∈（2，+∞），且 x1＜x2，
4
f 4 4 1 2（x1）﹣f（x2）＝x1+ x2 =（x1﹣x2）（ ），———— 5分1 2 1 2
因为 2＜x1＜x2，所以 x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＞0，可得 f（x1）﹣f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
所以 f（x）在（2，+∞）递增；———— 7分
2 2
（3）当 x∈[ 5 3] ( ) = +2 +5 ( +1) +4 4﹣ ，﹣ 时， +1 = +1 =（x+1）+ +1，
设 x+1＝t 4（﹣4≤t≤﹣2），h（t）＝t+ ，由（1）（2）可得 h（t）在[﹣4，﹣2]递增，可得 h（t）的最
大值为 h（﹣2）＝﹣4；h（t）的最小值为 h（﹣4）＝﹣5．
则 g（x）的值域为[﹣5，﹣4]．—————— 12分
注：第三问，没有单调性判断直接代入求值的，扣 2分。
21. 解：（1）当 0≤x＜8时，y是 x的二次函数，设 y＝ax2+bx+c（a≠0），
由 x＝0，y＝﹣4可得 c＝﹣4，
由 x＝2，y＝4可得 4a+2b+c＝4①，
由 x＝4，y＝4可得 16a+4b+c＝4②，
由①②得 a＝﹣1，b＝6，
即 y＝﹣x2+6x﹣4（0≤x＜8）
当 x≥8时， = ( 1 ) 2 ，
由 x＝12， = 1 1，可得 t＝10，即 = ( ) 104 2 ( ≥ 8)，
= 2 + 6 4，(0 ≤ ＜8)，
综上， = ———— 6 分
= ( 1 ) 102 ，( ≥ 8)．
（2）1°当 0≤x＜8时，y＝﹣x2+6x﹣4＝﹣（x﹣3）2+5，
所以当 x＝3时，y取得最大值 5，
2°x 1≥8时， = ( ) 102 单调递减，所以当 x＝8时，y取得最大值 4，
综上所述，当该新型合金材料的含量为 3时产品性能达到最佳．—————— 12分
注：第二问没有结论陈述扣 1分。
1 1
22. 解：（1）因为 y＝f（x）＝log2（ +a）， 所以 +a＝2y，则 x=
1
2
，
所以 f﹣1（x）= 12 ；
当 a ﹣＝1时，f 1（x = 1） 2 1＜1，解得 x＜0或 x＞1，即解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；—— 3分
（2）若 f（x）+log2（x2）＝1，即 2( 2 + ) = 1，所以 ax2+x＝2的解集中恰好有一个元素，
当 a＝0时，x＝2，符合题意；
当 a≠0时，若Δ＝1+8a＝0 1，解得 a= 8，此时 x＝4，满足题意；
1 2
若Δ＝1+8a＞0，则 ax2+x＝2有两个根，因为 + = 2 > 0，所以两根均满足题意，故不成立；
1
综上：a＝0或 a= 8．—————————————————— 7分
（3）因为任意 x1，x2∈[t，t+1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤1，
即有 f 1 1（t）﹣f（t+1）= 2( + ) 2( +1 + ) ≤ 1，
a≥ 1 2所以 +1 =
1
( +1)，
1
设 r＝1﹣t 0 1，则 ≤r≤ 2， = ， ( +1) 2 3 +2

当 r＝0时，
2
=0，
3 +2
1
当 0＜r≤ 12时， 2
= ，
3 +2 +2 3
2 2 1 9
因为 y＝r+ 在（0， 2）上递减，所以 r+ ≥ 2 + 4 = 2，
1 1 2
所以 2 = ≤ = ， 3 +2 +2 3 9 3 2 3
2
所以实数 a 2的取值范围时 a≥ 3，即 a∈[ ，+∞）．—————— 12分3