江苏省张家港常青藤实验中学2013届高三九月月考数学试题(教师版)

张家港常青藤实验中学2013届九月考模拟试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1． 已知集合，，，则 ▲ ． ；
2． 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 ▲ ． 3；
3． 在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．
4． 已知函数在处的导数为，则实数的值是 ▲ ．2
5． 要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移 ▲ 个单位．
6．在平面直角坐标系xOy中，“直线，与
曲线相切”的充要条件是 “ ▲ ”． ；
7． 运行如图所示的流程图，则输出的结果是 ▲ ．2
8． 已知双曲线（）的两个焦点
为、，点P是第一象限内双曲线
上的点，且，，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9． 在△ABC中，若，则 ▲ ．
10． 已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为 ▲ ．
11．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．；
12．已知平面向量，，满足，，，的夹角等于，且，则的取值范围是 ▲ ．
13．定义：{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 ▲ ．
14．定义在上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是 ▲ ．12
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
（1）因为①， ②，
②①得，（3分）
即2+2， 所以；（6分）
（2）②①得
即，（8分）
故，（12分）
化简得，
由（1）得. （14分）
16．（本题满分14分）
如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．
（1）若EF∥平面ABD，求实数的值；
（2）求证：平面BCD⊥平面AED．
解：（1）因为EF∥平面ABD，易得平面ABC，
平面ABC平面ABD，
所以，（3分）
又点E是BC的中点，点F在线段AC上，
所以点F为AC的中点，
由得；（6分）
（2）因为，点E是BC的中点，
所以，，（9分）
又，平面AED，
所以平面AED，（12分）
而平面BCD，
所以平面BCD⊥平面AED．（14分）
17．（本题满分14分）
如图，点在内，，记．
（1）试用表示的长；
（2）求四边形的面积的最大值，并写出此时的值．
解：（1）△与△中，由余弦定理得，， ①
，②（3分）
由①②得，解得；（6分）
（2）
由（1）得（11分）所以当时，．（14分）
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，点为圆上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心恰与点重合，折痕与直线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过动点作圆的两条切线，切点分别为，求MN的最小值；
（3）设过圆心的直线交圆于点，以点分别为切点的两条切线交于点，求证：点在定直线上．
解：（1）由题意得，故P点的轨迹是以C1、C2为焦点，4为长轴长
的椭圆，则，所以，， 故P点的轨迹方程是．（5分）
（2）法1（几何法） 四边形SMC2N的面积，
所以，（9分）
从而SC2取得最小值时，MN取得最小值， 显然当时，SC2取得最大值2，
所以．（12分）
法2（代数法） 设S(x0，y0)，则以SC2为直径的圆的标准方程为
，
该方程与圆C2的方程相减得，，（8分）
则圆心到直线MN的距离，
因为，所以， 从而，，
故当时dmax，
因为，所以=．（12分）
（3）设，则“切点弦”AB的方程为，
将点（-1，0）代入上式得， 故点Q在定直线上．（16分）
19．（本题满分16分）
已知整数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得．
解：（1）设数列前6项的公差为d，则，，d为整数．
又a5，a6，a7成等比数列，所以，解得，
当n≤6时，，（3分）
由此，，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，. 故（7分）
（2）由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16，…
当m1时等式成立，即3216(3)(2)(1)；
当m3时等式成立，即1010；（11分） 当m2或4时，等式均不成立；（13分）
当m≥5时，，，
因为，而，所以是偶数，
所以，于是，故m1，或m3．（16分）
20．（本题满分16分）
已知函数，，．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）证明：“方程有唯一解”的充要条件是“”．
解：（1）记，则，，
当时，恒成立，
故为上的单调增函数，所以，（2分）
当时，由得（负值已舍），若，即时，恒成立，
故为上的单调增函数，所以，（4分）
若，即时，在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上的单调递减，在上的单调递增，
故， 综上所述，（6分）
所以且 解得．（8分）
（2）1充分性：当时，方程，即，记，
由得（负值已舍），
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即在有唯一解，即证．（11分）
2必要性：因为方程有唯一解，记，
由得（负值已舍），
所以在上单调递减，在上单调递增，故，且（13分）
即
②①2得，，记，，
则函数为上的单调增函数，且，所以方程有唯一解，
将代入②式得，即证．
由1、2得，“方程有唯一解”的充要条件是“”．（16分）