江苏省张家港常青藤实验中学2013届高三周考3数学试题（教师版）

常青藤实验中学2013届高三周考（三）
数 学 试 题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）
1．若全集，集合，则集合?U M= ．1.；
2．若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 ．2.；
3．在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，且，则 ．
4．“”是“函数在其定义域上为奇函数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 充分不必要
5. 已知函数 ．0
6．已知函数零点依次为，则的大小关系为 .
7. 已知函数的部分图象如图所示，
则函数的解析式为 .
8.若二次函数在区间内至少存在一点使得则实数的取值范围是_______________.
9.给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 ①，②，④
①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2.
10. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11．8万件． 从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则的最大值是 .
11.已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 2
12．已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ．12.6
13．如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形
的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的
中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，
则的最大值为 ．13.；
14．在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 . 14.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点．
（1）若M是CD的中点，求的值 ；
（2）求 的最小值．
15．（1）∵，，
∴=．………………6分
（2）设MD=x，则MC=1-x. 其中0∴===，
当且仅当时取等号． ………………12分
∴当时， 的最小值为．………………14分
16. (本小题满分14分)
已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.
17. (本小题满分14分)
如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若，，.
（1）用表示的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的取值范围.
17. (本小题满分14分)
解：(1) 由CD∥OA，∠AOB＝，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，
∠ODC＝，∠COD＝－θ.
在△OCD中，由正弦定理，
得CD＝sin，θ∈(6分)
(2) 设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，
f(θ)＝θ＋1＋sin.(8分)
所以f′(θ)＝1－cos，因为θ∈，所以－θ∈，
令f′(θ)＝0，得cos＝，所以－θ＝，所以θ＝.
θ



f′(θ)
＋
0
－
f(θ)
?
极大值
?
所以f(θ)∈.
故所需渔网长度的取值范围是.(14分)
18.函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数，都有成立．已知当时，．（1）求时，函数的表达式；（2）若函数的最大值为，在区间上，解关于x的不等式．
19.（本小题满分16分）
已知函数
（1）若，求证有且仅有一个零点；
（2）若对于，函数图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于，求实数的取值范围；
（3）若存在单调递减区间，求实数的取值范围．
19. (1) ，
令得，.
，有且仅有一个零点，该零点即为.---------4分
(2) ，由已知， 在上恒成立. ---------6分
由 在上恒成立，可得
由 在上恒成立，可得
-------------------10分
（3）存在单调递减区间在上有解
在上有解
记，
当时，，不满足条件；
当时，为开口向下的二次函数，在上恒有解；
当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，在 上有解只需，即，解得
综上所述，的取值范围为
20. (本小题满分16分)
已知数列是等差数列，
（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果(k为常数)，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设的公差为，则

数列是以为公差的等差数列
（2），
两式相减：，

，


（3）因为当且仅当时最大，
即

数学Ⅱ（附加题）
注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B. 已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
C. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
23. （本小题满分10分）
已知，n∈N*.
(1) 若，求中含项的系数；
(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：≥(1＋)(1＋)…(1＋)．
附加题答案
21. B．解：矩阵M的特征多项式为
=………………………1分
因为方程的一根，所以………………………3分
由得，…………………………………5分
设对应的一个特征向量为,
则得…………………………………………8分
令,
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分
C．消去参数，得直线的直角坐标方程为；…………… 2分
即，
两边同乘以得，
得⊙的直角坐标方程为：, …………………… 6分
圆心到直线的距离，
所以直线和⊙相交． …………………………………………………… 10分
22. (1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
所以的分布列为
的数学期望为
. ……………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即的取值范围是. …… 10分
23. (1) 解：g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56.(3分)
(2) 证明：由题意，pn＝2n－1.(5分)
① 当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；
② 假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立，
当n＝k＋1时，
(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k－1(a1a2…ak＋1)(1＋ak＋1)
＝2k－1(a1a2…akak＋1＋a1a2…ak＋ak＋1＋1)．(*)
∵ ak＞1，a1a2…ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2…akak＋1＋1≥a1a2…ak＋ak＋1，
代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k(a1a2…akak＋1＋1)成立．
综合①②可知，pn（a1a2…an＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）对任意n∈N*成立．（10分）