第27章相似单元测试题 2021—2022学年人教版数学九年级下册（word版 含解析）

第27章《相似》测试卷
全卷满分：150分；考试时间：100分钟；姓名 班级 学号
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）
(
第5题
) (
第3题
) (
第2题
) (
第1题
)
A． B． C． D．
2．如图，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，在山西旅游景区地图上，图上距离与实际距离之比约1 :10000000 ，若从太原到大同云冈石窟所在 地的实际距离约为 251.0 km，则这两地的图上距离约为（ ） cm．
A．0.251 B．2.51 C．25.1 D．251
4．已知△ABC∽△A’B’C’，若AB：=3：4，则 =（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
6．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是（　　）
A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：9
7．如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（　　）
(
第8题
) (
第7题
) (
第6题
) (
第7题
) (
第6题
)
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
8．如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（　　）
(
第13题
) (
第12题
) (
第11题
) (
第10题
) (
第9题
)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：_________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．
12．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
13．如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则的长为__________．
14．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
15．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点，点E是AB的中点，△ABC的面积是16，则△BEO的面积为_____．
(
第17题
) (
第16题
) (
第14题
) (
第15题
)
16．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE BC为_ __．
17．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于G，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF、EF、FG．下列四个结论：①DG＝CG；②AF＝AG；③S△ABF＝S△FCG；④AE＝EF．其中正确的结论是 _ __．（写出所有正确结论的序号）
18．如图：中，，，，把边长分别为，，，的个正方形依次放在中：第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在△的各边上，其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为___．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图，与相似，求x，y的值．
20．（10分）如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：．
21．（10分）如图，在阳光下，旗杆在地面上的影长为，在建筑物墙面上的影长为，同一时刻，测得直立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度．
22．（12分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的长．
23．（12分）如图，在中，，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求CF的长．
24．（12分）（概念认识）
在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，我们就把这种三角形叫做倍角三角形．
（数学理解）
（1）请举出一个你熟悉的倍角三角形，并写出此三角形的三边之比．
（2）如图，在△ABC中，∠B=2∠A，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c，试探究三边的等量关系．
（问题解决）
（3）若有一个倍角三角形的两边长为2，4，试求此三角形的第三边长．
25．（12分）已知三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是AC，AB上的点，连接EF．
（1）如图1，若将纸片ABC沿EF折叠，折叠后点A刚好落在AB边上点D处，且S△ADE=S四边形BCED，求ED的长；
（2）如图2，若将纸片ABC沿EF折叠，折叠后点A刚好落在BC边上点M处，且EM∥AB．
①试判断四边形AEMF的形状，并说明理由；
②求折痕EF的长．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵AC＝3，CE＝4，
∴AE=7，
∵a∥b∥c，
∴．
故选：C．
2．B
解：，，
．
故选：B．
3．B
解：251.0km＝25100000cm，
∴比例尺＝1：10000000＝2.51：25100000；
故选：B．
4．D
解：∵，，
∴它们的相似比为，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，，
故选：D．
5．D
解：如图，，，，
作过点O作OE⊥AB交AB于E，并反向延长交CD于F，则∠AEO=90°，
∵，
∴∠AEO=∠OFD=90°
∴，
∴，
∴，即，
解得．故选：D．
6．D
解：∵△A'B'C'与△ABC是位似图形，
∴A′B′∥AB，△A'B'C'∽△ABC，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比＝（）2＝1：9，
故选：D．
7．B
解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD
∴Rt△EDC∽Rt△CDF
∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，
∴DC=2．
故选：B
8．D
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
9．A
解：设AD交GH于M．
∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴EH＝HG＝MD，
∴，
设EH＝x，则AM＝2 x，
∴，
解得：x＝，
∴EH＝．
故选：A．
10．C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
设，则，
当时，
，
即，
解得，
当时，
，
即，
解得或6，
∴或2或6，
∴满足条件的点的个数有3个．
故选：C．
二、填空题
11．相似变换
解：由一个图形到另一个图形,在改变的过程中形状不变,大小产生变化,属于相似变化.
故答案为相似变换.
12．5
解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴，，
又∵，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴，
解得，，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
13．3.6
解：由平行线分线段成比例定理得：
，，
解得
故答案为：．
14．
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
15．4
解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵点E是AB的中点，OE= BC，OE∥BC，
∴△AOE∽△ACB，
∴∴OE=，
∵△ABC的面积是16，
∴S△AOE=4，
∴S△BEO=4．
故答案为：4．
16．9
解：，，
，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
解得：．
，，
，
，
．
故答案为：9．
17．①③④
解： 正方形
而
故①正确；
如图，设BF=m，而CF＝2BF，
则CF=2m，AB=AD=3m，DG=CG=，
在Rt△ABF中，
而
故②错误；
过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N， 可得四边形MNCD是矩形，
△AME∽△ADG，
∵AD=3m，
∴AM=2m，DM=m，NC=m， 则BN=BC-NC=2m，FN=BN-BF=m，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE， 且相似比，
∴ME=m，EN=2m，
在Rt△EFN中， EF=
在Rt△AME中，
故④正确；
故③正确；
综上：正确的有：①③④
故答案为：①③④
18．
解：设第一个正方形的边长是，
∵∥AC，∥BC，
∴△△BAC，△△ABC，
则，
同理得到，
两式相加得到，
解得=，
同理求得：
第二个的边长是，
第三个的边长是，
…
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．，或x= ，y=．
解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
20．见解析
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠C = ∠D，
∴△BAC∽△EAD，
∴．
21．29m
解：作于，
∵于，于，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，
解得，
∴（）.
答：旗杆的高度为29m．
22．（1）见解析；（2）4．
（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠D，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD＝6，EC＝3，AE＝2，
∴，
∴AB＝4．
23．（1）见解析；（2）2
解：（1）连接
在上，
是的切线．
（2） ⊙O的半径为2，，
经检验：符合题意．
24．（1）含30°角或45°角直角三角形等，含30°角的直角三角形三边之比为，含45°角的直角三角形三边之比为；（2）；（3）或或或2-2
解：（1）在△ABC中,∠BAC=60° ∠ABC=30°,∠ACB=90°，如图，
设AC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，BC=
..AC: BC: AB=1:: 2.
在△ABC中,∠BAC=45° ∠ABC=45°,∠ACB=90°，如图，
∴AC=BC
设AC=x，则BC=x，
由勾股定理得，AB=
..AC: BC: AB=1: 1:.
（2）延长AB至点D,使BD=BC,连接CD,
∴△BDC为等腰三角形
∴∠BDC=∠BCD，CB=BD=a，∠CBA=2∠D=2∠A
∴∠D=∠A=∠BCD
在△CDB和△ADC中
∵
∠BCD=∠CAD
∴△CDB∽△ADC,
∴，∠CDA=∠CAD
∴CD= CA，即
∴
(3)由大边对大角,小边对小角可知，
∵∠B=2∠A
∴b>a
又∵三角形两边之和大于第三边
∴第三边小于6
由(2)结论
①当b=4.a=2时，c=6 (舍去)
②当b=4，c=2时,
解得或 ( 舍去)
∴
③当a=4,c=2时, ，解得b=2或-2(舍去)
∴b=2成立；
④当c=4,a=2时，，解得b=2或-2 (舍去)
∴b=2成立
⑤当c=4,b=2时，，
解得a=2-2或- 2-2 (舍去)
∴a=2-2成立
⑥当a=4.b=2时,此时,a>b.不成
∴第三边长可为或或或2-2．
25．（1）DE＝5；（2）①四边形AEMF是菱形，证明见解析；②
解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF＝S△DEF，
∵S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ABC＝4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴，即，
∴AE＝5(负值舍去)，
由折叠知，DE＝AE＝5．
（2）①如图2中，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，
∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵ME∥AB，
∴∠AFE＝∠FEM
∴∠MFE＝∠FEM，
∴ME＝MF，
∴AE＝EM＝MF＝AF，
∴四边形AEMF为菱形．
②设AE＝x，则EM＝x，CE＝8 x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴，
即，
解得x＝，CM＝，
在Rt△ACM中，AM＝，
∵S菱形AEMF＝EF AM＝AE CM，
∴EF＝2×．答案第12页，共12页
答案第11页，共11页