2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用综合复习教案

期末复习第五章 一元函数的导数及其应用
一、知识梳理
1.设函数在区间上有定义，，若时，比值 无限趋近于一个常数,则称在处 ，并称该常数为函数在在处的 记作：
2.导数的几何意义是
3、若函数对于区间内任意一点都 ，则函数在各点的导数也会随着自变量的变化而变化，因此也是自变量的函数，该函数称为的 记作： 在不引起混淆的情况下，导函数简称为的
4.常见函数的导数
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
⑨
⑩
5.函数的和、差、积、商的导数
①
②
③
④
6.设函数均可导，那么复合函数的也可导，且
特别，若， 则
7、极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
8、极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数________的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．__________、__________统称为极值点，__________和_________统称为极值．
9、函数的最值
（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;
（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．
（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：
①求在内的极值；
②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
二、考点剖析
考点一 导数概念及几何意义
☆技巧点拨☆
导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：
（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
例1.若=1,则f'(x0)=(　　)
A. B. C.- D.-
【答案】D
例2．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】，依题意可得，即，因为，所以.故选：D
例3．若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A．一定为锐角 B．一定为钝角 C．可能为直角 D．可能为0°
【答案】A
【分析】，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
例题4．已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
例题5．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“严格凸函数”．在下列函数中，在上为“严格凸函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：对于A：，则，恒成立，故A错误；
对于B：，则，，所以当时恒成立，故B错误；
对于C：，则，则，所以当时，当时，故C错误；
对于D：则，，所以当时恒成立，故D正确；
故选：D
例题6．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，，
当时，，，原函数单调递增，
又因为，所以当时，，
此时，，所以，
当时，，此时，，所以，
所以当时，，
又因为是奇函数，当时，，
求，分两种情况求解，
当时，，只需，解得，
当时，，只需，解得
所以的范围是
故选：A
考点二 导数的在研究函数中应用
☆技巧点拨☆
函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现．常见的题型及其解法如
．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
例1．函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵，且，∴函数为单调递增的奇函数．
于是，可以变为，即，∴，而，可知实数，故实数的取值范围为．故选：C.
例2．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；又为上的奇函数，故可得，即，则.则不等式等价于，又因为是上的单调减函数，故解得.选：A.
例3．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：由题意有两个不等实根，
即有两个不等实根，设，
则，当时，，递增，当时，，递减，
时，为极大值也是最大值，时，，且，
当时，，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．故选：B
例4．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
因为，
，，所以最大，
又因为，，所以，所以，故选：B.
例5．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：设直线与曲线相切于点，
，，可得切线的斜率为，则，所以，
又切点也在直线上，则，
，
，设，，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，可得的最大值为，即的最大值为.
故选：D.
考点三 导数的综合应用
例1.（2020·山东济宁三模）已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）试讨论函数的极值．
解：（1）由得，
由已知可得：即．
（2），
，
①当，即时，在上为增函数，不存在极值；
②当，即时，则
极小值
所以，是取得极小值，不存在极大值．
综上，当时，函数不存在极值；当时，函数取得极小值
，不存在极大值．
例2.已知函数的定义域为．
（1）求的单调区间；
（2）讨论函数在上的零点个数
【解析】（1），
因为，所以的零点为0和1.
令，得；令，得或.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）由（1）知，在上的极大值为，极小值为，
因为，，所以.，由，得.
当或时，的零点个数为0；
当或时，的零点个数为1；
当或时，的零点个数为2；
当时，的零点个数为3.
例3.已知函数且.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：.
【解析】（1），，
即,解得或.，解得，∴,∴，
令，得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）要证成立，只需证成立.
令，则，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
又由（1）可得在上，所以，
所以，所以原不等式成立.
证明不等式的基本方法
(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则① x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),② x1,x2∈[a,b],且x1(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则 x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).
(3)构造法:如若证明f(x)例4. 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设实数k使得对恒成立，求k的最大值.
【解析】（1）证明：，
令，
则，
因为，所以在上单调递增，
所以，，
即当时，.
（2）由（1）可知，当时，对恒成立，
当时，令，
则，
所以当时，，
因此在区间上单调递减，
当时，，
即，
所以当时，并非对恒成立，
综上可知，k的最大值为.
【提分秘籍】
1.分离参数法解含参不等式恒成立的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.
2.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.
3.含全称、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;
(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.
考点五 数学建模
利用导数解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数解析式y=f(x).
(2)求导数f'(x),解方程f'(x)=0.
(3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小值点.
(4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答.一般地,对于实际问题,如果函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.
例1.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,已知总收益R(单位:元)与年产量x(单位:件)之间的关系是R=则当总利润P最大时,每年的产量是(　　)
A.100件 B.150件 C.200件 D.300件
【答案】D
例2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则存款利率为 时,银行可获得最大收益.
0.024
例3.某电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放A,B两种型号电视机的价值分别为p万元,q万元,农民购买A,B两种型号的电视机获得的补贴分别为p万元,mln(q+1)(m>0)万元.已知厂家把总价值为10万元的A,B两种型号的电视机投放市场,且A,B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元.
(1)当m=时,请你制订一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出其最大值;(精确到0.1万元,参考数据:ln 4≈1.4)
(2)当m∈时,试讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况.
【解析】设投放B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9),农民得到的补贴为y万元,则投放A型号电视机的价值为(10-x)万元.
(1)当m=时,有y=ln(x+1)-x+1,
y'=-.
令y'=0,得x=3.
当x∈[1,3)时,y'>0;
当x∈(3,9]时,y'<0.
所以当x=3时,y取得极大值,也是最大值,此时,10-x=7,
则ymax=ln 4-0.3+1≈1.3,
即厂家投放A,B两种型号电视机的价值分别为7万元和3万元时,农民得到的补贴最多,补贴最多约为1.3万元.
(2)由题意知y=mln(x+1)+(10-x),
则y'=-.令y'=0,得x=10m-1.
因为m∈,所以10m-1∈(1,9),所以当x∈[1,10m-1)时,y'>0;当x∈(10m-1,9]时,y'<0.
所以当x∈[1,10m-1)时,随B型号电视机投放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐增加;
当x∈(10m-1,9]时,随B型号电视机投放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐减