2021-2022学年湘教版九年级数学下册期末综合复习训练 第1章二次函数 （Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湘教版九年级数学下册期末综合复习训练 第1章二次函数 （Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 501.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 14:56:47 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年湘教版九年级数学下册《第1章二次函数》期末综合复习训练1（附答案）
1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x2+kx与y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在4×4的网格中，每一个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．若抛物线y＝x2+bx+c的图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，并且至少一个格点在x轴上，则符合要求的抛物线一定不经过的格点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（2，3） C．（1，4） D．（2，4）
4．若函数y＝ax2﹣2x+a的图象与坐标轴只有1个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1或a＝0
C．a≥1或a＝0 D．a＞1或a＝0或a＜﹣1
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y1）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
6．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣5）2+1 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+2）2﹣2
7．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8﹣x}（x≥0）时，则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知函数y＝kx2﹣（k+2）x+2（k是常数），下列说法：①函数图象必过第一、二象限； ②当函数图象与坐标轴只有两个交点时，k＝0；③当k＜﹣2时，抛物线顶点在第一象限；④若k＞0，则当x＜时，y随着x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
9．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（ ）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
11．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
12．如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
13．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
14．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．
15．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为 ．
16．将抛物线y＝x2+2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ；
17．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝12时，四边形ABCD的面积最大值是 ．
18．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为 ．
20．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．
23．综合与探究：
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象与x轴交于A，B两点，并经过点C（8，﹣6），对称轴交x轴于点D．已知点A坐标是（2，0）．
（1）求点B和点D的坐标；
（2）连接并延长CD交抛物线于点E，连接BC，BE，求△EBC的面积；
（3）抛物线上有一个动点P，与A，B两点构成△ABP，是否存在S△ABP＝S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP＝S△CAP，求P点坐标；
（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
26．已知抛物线l：y＝ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、y＝kx+b，是一次函数，错误；
B、t＝，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝．是二次函数，正确；
故选：D．
2．解：当k＞0时，函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的左侧；
当k＜0时，函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的右侧，故C正确．
故选：C．
3．解：∵二次项系数为1，∴该抛物线开口向上
∵图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，且至少一个格点在x轴上，
∴结合二次函数的对称性分析如下：
选项A：若过（1，3），将点A坐标代入抛物线表达式并解得：
抛物线的表达式为：y＝x2+bx+（2﹣b），
设抛物线过点（2，0），即当x＝2时，y＝4+2b+2﹣b＝0，解得：b＝﹣6，
抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），
即抛物线还过点（2，0）、（4，0），不符合题意；
选项B：若过（2，3），还可过点（3，1），将这个点的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：y＝x2﹣7x+13，
若同时过x轴上的可能的格点（4，0），当x＝4时，y＝1，故B符合题意；
故选：B．
4．解：当a＝0时，y＝﹣2x，该函数与坐标轴有1个交点；
当a≠0时，△＝4﹣4a2＜0时，图象与坐标轴只有1个交点，解得：a＞1或a＜﹣1；
故选：D．
5．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0），
则函数的对称轴为：x＝﹣1，
x＝﹣3比x＝2离对称轴近，故y1＞y2，
故选：C．
6．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣2）2+1．
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），点A（m，5），B（n，2）
∴3BB′＝9，
∴BB′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x+1）2+1．
故选：C．
7．解：解方程x2＝x+2得：x＝2或x＝﹣1，（因为x≥0，x＝﹣1舍去），
解方程x+2＝8﹣x得：x＝3，
解方程x2＝8﹣x得：x＝，（因为x≥0，x＝舍去），
当0≤x≤2时，y的最大值是点A的纵坐标；
当2＜x≤时，y的最大值是点B的纵坐标；
当x＞时，y的最大值是点C的纵坐标；
如图所示：
y最大＝3+2＝5，
即y的最大值是5，
故选：B．
8．解：①当k＝0时，函数为y＝﹣x+2，函数图象经过第一、二、四象限；当k≠0时，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0；
k＞0时，抛物线开口向上，并且与x轴有交点，函数图象必过第一二象限；k＜0时，抛物线开口向下，与y轴相交于y轴正半轴，函数图象必过第一二象限；所以函数图象必经过第一、二象限，故符合题意；
②当k＝0时，此函数是不平行于坐标轴的直线，所以，函数与坐标轴有两个交点，当k≠0时，函数是抛物线，必与y轴相交，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，抛物线与x轴有一个（k＝2时）或两个交点，此时函数与坐标轴有两个到三个交点，故不符合题意；
③当k＜﹣2时，对称轴x＝＞0，顶点纵坐标＝＝﹣＞0，故抛物线顶点在第一象限，符合题意；
④若k＞0，抛物线的对称轴为：x＝﹣＝，则当x＜时，y随着x的增大而减小，符合题意；
故选：B．
9．解：把点（﹣1，﹣1），（0，3）代入y＝ax2+3x+c得：
∴
∴y＝﹣x2+3x+3
∴①ac＜0正确；
该抛物线的对称轴为：，
∴②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小是错误的；
方程ax2+2x+c＝0可化为：方程ax2+3x+c＝x，
把x＝3代入y＝﹣x2+3x+3得y＝3，
∴﹣x2+2x+3＝0，
故③正确；
∴（3，3）在该抛物线上，
又∵抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），
∴抛物线y＝ax2+3x+c与y＝x的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3），
当﹣1＜x＜3时，ax2+3x+c＞x，即ax2+2x+c＞0
④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0，故④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
10．解：∵抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴BC的中点M坐标为（，），即点M坐标为（2，1）．
∵点C沿着此抛物线运动，点M也随之运动，点M的运动轨迹是抛物线，且经过（2，1），（6，﹣1）
∴设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
则有，解得
∴m，n满足，n＝m2﹣m+8＝（m﹣）2﹣，
故选：D．
11．解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则
S＝x×（20﹣x）
＝﹣（x2﹣20x）
＝﹣（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）
∵﹣＜0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为15m
∴当x＝15时，S最小
S最小＝15××（20﹣15）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．
故选：C．
12．解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN （xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
13．解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C（0，4），
代入y＝﹣（x﹣3）2+得：4＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x＝0或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），
∵C（0，4），
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
14．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，
故m＞n，
故答案为＞．
15．解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称，
m﹣1＝1﹣（﹣1），
解得m＝3，
故答案为：3．
16．解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
把点（﹣1，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得对应点的坐标为（﹣3，﹣4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．
故答案为：y＝（x+3）2﹣4．
17．解：∵AC与BD所成的锐角为45°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin45°，
设AC＝x，则BD＝12﹣x，
所以S＝x（12﹣x）×＝﹣（x﹣6）2+9，
所以当x＝6，S有最大值9．
故答案为：9．
18．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
19．解：∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8＝a（x﹣5）2﹣25a+8，
∴该抛物线的顶点的横坐标是x＝5，当x＝0时，y＝8，
∴点D的坐标为：（0，8），
∴OD＝8，
∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，CD∥AB∥x轴，
∴CD＝5×2＝10，
∴AD＝10，
∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10，
∴AO＝＝＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝10﹣AO＝10﹣6＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）
20．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
21．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由：
作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，
将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，
抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，
故点P（，）；
（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），
则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，
3MN＝3（m+1），
∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），
解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），
故点Q坐标为（﹣1，2）或（5，﹣7）．
22．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，
将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，
解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；
（2）设点M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），
①当AB是平行四边形的一条边时，
点A向右、向下均平移6个单位得到B，
同理点N右、向下均平移6个单位得到M，
故：s+6＝m，0﹣6＝n，
解得：m＝2±2，
故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
则AB的中点即为MN的中点，则
s+m＝6，n+0＝6，
解得：m＝4，
故点M的坐标为（4，6），
综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．
（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，
∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，
直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），
d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），
当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．
23．解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象经过点C（8，﹣6），点A（2，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝4，
∴D（4，0）；
当y＝0时，则﹣x2+4x﹣6＝0，
∴x＝2（点A的横坐标）或x＝6，
∴B（6，0）；
（2）由（1）知，D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6②，
联立①②解得，或（点C的纵横坐标），
∴点E（3，），
如图1，过点B作BF∥y轴交CD于F，
由（1）知，B（6，0），
∴F（6，﹣3），
∴S△EBC＝BF |xC﹣xE|＝×3×|8﹣3|＝；
（3）设点P的纵坐标为m，由（1）知，B（6，0），D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴S△DBC＝BD |yC|＝（6﹣4）×6＝6，
∵S△ABP＝S△DBC，
∴S△ABP＝×6＝3，
∵A（2，0），B（6，0），
∴S△ABP＝AB |yP|＝（6﹣2）|m|＝2|m|＝3，
∴m＝±，
当m＝时，﹣x2+4x﹣6＝，x＝3或x＝5，
∴P（3，）或（5，），
当m＝﹣时，﹣x2+4x﹣6＝﹣，x＝4﹣或x＝4+，
∴P（4﹣，﹣）或（4+，﹣），即：P（3，）或（5，）或（4﹣，﹣）或（4+，﹣）．
24．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）①当点P在第一象限时，如下图左图：
过点C作AP的平行线，过点B作AP的平行线交y轴于点H，
当GH＝CG时，即点G是CH的中点时，则S△BAP＝S△CAP，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
将点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），则点G（0，3﹣m），
同理BH的表达式为：y＝（3﹣m）x﹣3×（3﹣m），则点H（0，3m﹣9），
点G是CH的中点，则2（3﹣m）＝3+3m﹣9，解得：m＝，
故点P（，）；
②当点P在第四象限时，如上图右侧图，
S△BAP＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，
则CB∥AP即满足条件，
同理可得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
同理可得：直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝4，故点P（4，﹣5），
③当点P在二、三象限时，点B、C到直线AP的距离不相等，故点P不存在；
综上，点P的坐标为：（，）或（4，﹣5）；
（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90°，
当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相离时，不存在点P．
如下图，⊙R与x轴相切时，切点为P，
设：点E、F的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），
当平移后的抛物线顶点横坐标为m时，则抛物线向右平移了m﹣1个单位，相应纵坐标向上平移了2（m﹣1）个单位，则平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+2m+2，
将上式与y＝2x﹣1联立并整理得：x2﹣（2m+2）x+m2﹣2m﹣3＝0，
则x1+x2＝2m+2，x1x2＝m2﹣2m﹣3，
则y1+y2＝2（x1+x2）﹣2＝4m﹣6，则点R（m﹣1，2m﹣3），
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
PR＝EF，即：EF2＝4PR2，
EF2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5×16＝4PR2＝4[（2m﹣3）2]
解得：m＝，
故m的范围是：≤m≤．
25．解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a 1 （﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
26．解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y＝ax2﹣3，
∵y＝2x2﹣2x﹣3＝2（x﹣）2﹣，
∴衍生抛物线为y＝ax2﹣3过抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点（，﹣），
∴﹣＝a﹣3，
解得 a＝﹣2，
∴衍生抛物线为y＝﹣2x2﹣3．
设衍生直线为y＝kx+b，
∵y＝kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴衍生直线为y＝﹣x﹣3．
故答案是：y＝﹣2x2﹣3；y＝﹣x﹣3；
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1联立，得，
解得或，
∵衍生抛物线y＝﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∵y＝a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1＝a（0﹣1）2﹣1，
解得 a＝2，
∴原抛物线为y＝2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y＝﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y＝﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（，﹣），
∴OM2＝（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2＝+＝，
OP2＝（xP﹣xO）2+（yO﹣yP）2＝x2+4，
MP2＝（xP﹣xM）2+（yP﹣yM）2＝（x﹣1）2+4＝x2﹣x+．
①当OM2＝OP2+MP2时，有＝x2+4+x2﹣x+，
解得x＝2或x＝﹣，即P（2，﹣2）或P（﹣，﹣2）．
②当OP2＝OM2+MP2时，有x2+4＝17+x2﹣x+，
解得 x＝11，即P（11，﹣2）．
③当MP2＝OP2+OM2时，有x2﹣x+＝x2+4+17，
解得 x＝﹣14，即P（﹣14，﹣2）．
综上所述，当P为（2，﹣2）或P（﹣，﹣2）或（11，﹣2）或（﹣14，﹣2）时，△POM为直角三角形．
1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x2+kx与y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在4×4的网格中，每一个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．若抛物线y＝x2+bx+c的图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，并且至少一个格点在x轴上，则符合要求的抛物线一定不经过的格点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（2，3） C．（1，4） D．（2，4）
4．若函数y＝ax2﹣2x+a的图象与坐标轴只有1个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1或a＝0
C．a≥1或a＝0 D．a＞1或a＝0或a＜﹣1
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y1）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
6．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣5）2+1 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+2）2﹣2
7．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8﹣x}（x≥0）时，则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知函数y＝kx2﹣（k+2）x+2（k是常数），下列说法：①函数图象必过第一、二象限； ②当函数图象与坐标轴只有两个交点时，k＝0；③当k＜﹣2时，抛物线顶点在第一象限；④若k＞0，则当x＜时，y随着x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
9．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（ ）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
11．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
12．如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
13．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
14．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．
15．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为 ．
16．将抛物线y＝x2+2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ；
17．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD＝12时，四边形ABCD的面积最大值是 ．
18．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为 ．
20．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．
23．综合与探究：
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象与x轴交于A，B两点，并经过点C（8，﹣6），对称轴交x轴于点D．已知点A坐标是（2，0）．
（1）求点B和点D的坐标；
（2）连接并延长CD交抛物线于点E，连接BC，BE，求△EBC的面积；
（3）抛物线上有一个动点P，与A，B两点构成△ABP，是否存在S△ABP＝S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP＝S△CAP，求P点坐标；
（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
26．已知抛物线l：y＝ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、y＝kx+b，是一次函数，错误；
B、t＝，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝．是二次函数，正确；
故选：D．
2．解：当k＞0时，函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的左侧；
当k＜0时，函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的右侧，故C正确．
故选：C．
3．解：∵二次项系数为1，∴该抛物线开口向上
∵图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，且至少一个格点在x轴上，
∴结合二次函数的对称性分析如下：
选项A：若过（1，3），将点A坐标代入抛物线表达式并解得：
抛物线的表达式为：y＝x2+bx+（2﹣b），
设抛物线过点（2，0），即当x＝2时，y＝4+2b+2﹣b＝0，解得：b＝﹣6，
抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），
即抛物线还过点（2，0）、（4，0），不符合题意；
选项B：若过（2，3），还可过点（3，1），将这个点的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：y＝x2﹣7x+13，
若同时过x轴上的可能的格点（4，0），当x＝4时，y＝1，故B符合题意；
故选：B．
4．解：当a＝0时，y＝﹣2x，该函数与坐标轴有1个交点；
当a≠0时，△＝4﹣4a2＜0时，图象与坐标轴只有1个交点，解得：a＞1或a＜﹣1；
故选：D．
5．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0），
则函数的对称轴为：x＝﹣1，
x＝﹣3比x＝2离对称轴近，故y1＞y2，
故选：C．
6．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣2）2+1．
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），点A（m，5），B（n，2）
∴3BB′＝9，
∴BB′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x+1）2+1．
故选：C．
7．解：解方程x2＝x+2得：x＝2或x＝﹣1，（因为x≥0，x＝﹣1舍去），
解方程x+2＝8﹣x得：x＝3，
解方程x2＝8﹣x得：x＝，（因为x≥0，x＝舍去），
当0≤x≤2时，y的最大值是点A的纵坐标；
当2＜x≤时，y的最大值是点B的纵坐标；
当x＞时，y的最大值是点C的纵坐标；
如图所示：
y最大＝3+2＝5，
即y的最大值是5，
故选：B．
8．解：①当k＝0时，函数为y＝﹣x+2，函数图象经过第一、二、四象限；当k≠0时，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0；
k＞0时，抛物线开口向上，并且与x轴有交点，函数图象必过第一二象限；k＜0时，抛物线开口向下，与y轴相交于y轴正半轴，函数图象必过第一二象限；所以函数图象必经过第一、二象限，故符合题意；
②当k＝0时，此函数是不平行于坐标轴的直线，所以，函数与坐标轴有两个交点，当k≠0时，函数是抛物线，必与y轴相交，△＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，抛物线与x轴有一个（k＝2时）或两个交点，此时函数与坐标轴有两个到三个交点，故不符合题意；
③当k＜﹣2时，对称轴x＝＞0，顶点纵坐标＝＝﹣＞0，故抛物线顶点在第一象限，符合题意；
④若k＞0，抛物线的对称轴为：x＝﹣＝，则当x＜时，y随着x的增大而减小，符合题意；
故选：B．
9．解：把点（﹣1，﹣1），（0，3）代入y＝ax2+3x+c得：
∴
∴y＝﹣x2+3x+3
∴①ac＜0正确；
该抛物线的对称轴为：，
∴②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小是错误的；
方程ax2+2x+c＝0可化为：方程ax2+3x+c＝x，
把x＝3代入y＝﹣x2+3x+3得y＝3，
∴﹣x2+2x+3＝0，
故③正确；
∴（3，3）在该抛物线上，
又∵抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），
∴抛物线y＝ax2+3x+c与y＝x的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3），
当﹣1＜x＜3时，ax2+3x+c＞x，即ax2+2x+c＞0
④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0，故④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
10．解：∵抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴BC的中点M坐标为（，），即点M坐标为（2，1）．
∵点C沿着此抛物线运动，点M也随之运动，点M的运动轨迹是抛物线，且经过（2，1），（6，﹣1）
∴设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
则有，解得
∴m，n满足，n＝m2﹣m+8＝（m﹣）2﹣，
故选：D．
11．解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则
S＝x×（20﹣x）
＝﹣（x2﹣20x）
＝﹣（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）
∵﹣＜0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为15m
∴当x＝15时，S最小
S最小＝15××（20﹣15）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．
故选：C．
12．解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN （xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
13．解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C（0，4），
代入y＝﹣（x﹣3）2+得：4＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x＝0或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），
∵C（0，4），
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
14．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，
故m＞n，
故答案为＞．
15．解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称，
m﹣1＝1﹣（﹣1），
解得m＝3，
故答案为：3．
16．解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
把点（﹣1，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得对应点的坐标为（﹣3，﹣4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．
故答案为：y＝（x+3）2﹣4．
17．解：∵AC与BD所成的锐角为45°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin45°，
设AC＝x，则BD＝12﹣x，
所以S＝x（12﹣x）×＝﹣（x﹣6）2+9，
所以当x＝6，S有最大值9．
故答案为：9．
18．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
19．解：∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8＝a（x﹣5）2﹣25a+8，
∴该抛物线的顶点的横坐标是x＝5，当x＝0时，y＝8，
∴点D的坐标为：（0，8），
∴OD＝8，
∵抛物线y＝ax2﹣10ax+8（a＞0）经过点C、D，CD∥AB∥x轴，
∴CD＝5×2＝10，
∴AD＝10，
∵∠AOD＝90°，OD＝8，AD＝10，
∴AO＝＝＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝10﹣AO＝10﹣6＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）
20．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
21．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）存在，理由：
作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，
将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，
抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，
故点P（，）；
（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），
则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，
3MN＝3（m+1），
∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），
解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），
故点Q坐标为（﹣1，2）或（5，﹣7）．
22．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，
将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，
解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；
（2）设点M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），
①当AB是平行四边形的一条边时，
点A向右、向下均平移6个单位得到B，
同理点N右、向下均平移6个单位得到M，
故：s+6＝m，0﹣6＝n，
解得：m＝2±2，
故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
则AB的中点即为MN的中点，则
s+m＝6，n+0＝6，
解得：m＝4，
故点M的坐标为（4，6），
综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．
（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，
∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，
直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），
d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），
当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．
23．解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象经过点C（8，﹣6），点A（2，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝4，
∴D（4，0）；
当y＝0时，则﹣x2+4x﹣6＝0，
∴x＝2（点A的横坐标）或x＝6，
∴B（6，0）；
（2）由（1）知，D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6②，
联立①②解得，或（点C的纵横坐标），
∴点E（3，），
如图1，过点B作BF∥y轴交CD于F，
由（1）知，B（6，0），
∴F（6，﹣3），
∴S△EBC＝BF |xC﹣xE|＝×3×|8﹣3|＝；
（3）设点P的纵坐标为m，由（1）知，B（6，0），D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴S△DBC＝BD |yC|＝（6﹣4）×6＝6，
∵S△ABP＝S△DBC，
∴S△ABP＝×6＝3，
∵A（2，0），B（6，0），
∴S△ABP＝AB |yP|＝（6﹣2）|m|＝2|m|＝3，
∴m＝±，
当m＝时，﹣x2+4x﹣6＝，x＝3或x＝5，
∴P（3，）或（5，），
当m＝﹣时，﹣x2+4x﹣6＝﹣，x＝4﹣或x＝4+，
∴P（4﹣，﹣）或（4+，﹣），即：P（3，）或（5，）或（4﹣，﹣）或（4+，﹣）．
24．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）①当点P在第一象限时，如下图左图：
过点C作AP的平行线，过点B作AP的平行线交y轴于点H，
当GH＝CG时，即点G是CH的中点时，则S△BAP＝S△CAP，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
将点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线PA的表达式为：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），则点G（0，3﹣m），
同理BH的表达式为：y＝（3﹣m）x﹣3×（3﹣m），则点H（0，3m﹣9），
点G是CH的中点，则2（3﹣m）＝3+3m﹣9，解得：m＝，
故点P（，）；
②当点P在第四象限时，如上图右侧图，
S△BAP＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，
则CB∥AP即满足条件，
同理可得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
同理可得：直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x＝4，故点P（4，﹣5），
③当点P在二、三象限时，点B、C到直线AP的距离不相等，故点P不存在；
综上，点P的坐标为：（，）或（4，﹣5）；
（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90°，
当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相离时，不存在点P．
如下图，⊙R与x轴相切时，切点为P，
设：点E、F的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），
当平移后的抛物线顶点横坐标为m时，则抛物线向右平移了m﹣1个单位，相应纵坐标向上平移了2（m﹣1）个单位，则平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+2m+2，
将上式与y＝2x﹣1联立并整理得：x2﹣（2m+2）x+m2﹣2m﹣3＝0，
则x1+x2＝2m+2，x1x2＝m2﹣2m﹣3，
则y1+y2＝2（x1+x2）﹣2＝4m﹣6，则点R（m﹣1，2m﹣3），
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
PR＝EF，即：EF2＝4PR2，
EF2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5×16＝4PR2＝4[（2m﹣3）2]
解得：m＝，
故m的范围是：≤m≤．
25．解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a 1 （﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
26．解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y＝ax2﹣3，
∵y＝2x2﹣2x﹣3＝2（x﹣）2﹣，
∴衍生抛物线为y＝ax2﹣3过抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点（，﹣），
∴﹣＝a﹣3，
解得 a＝﹣2，
∴衍生抛物线为y＝﹣2x2﹣3．
设衍生直线为y＝kx+b，
∵y＝kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴衍生直线为y＝﹣x﹣3．
故答案是：y＝﹣2x2﹣3；y＝﹣x﹣3；
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1联立，得，
解得或，
∵衍生抛物线y＝﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∵y＝a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1＝a（0﹣1）2﹣1，
解得 a＝2，
∴原抛物线为y＝2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y＝﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y＝﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（，﹣），
∴OM2＝（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2＝+＝，
OP2＝（xP﹣xO）2+（yO﹣yP）2＝x2+4，
MP2＝（xP﹣xM）2+（yP﹣yM）2＝（x﹣1）2+4＝x2﹣x+．
①当OM2＝OP2+MP2时，有＝x2+4+x2﹣x+，
解得x＝2或x＝﹣，即P（2，﹣2）或P（﹣，﹣2）．
②当OP2＝OM2+MP2时，有x2+4＝17+x2﹣x+，
解得 x＝11，即P（11，﹣2）．
③当MP2＝OP2+OM2时，有x2﹣x+＝x2+4+17，
解得 x＝﹣14，即P（﹣14，﹣2）．
综上所述，当P为（2，﹣2）或P（﹣，﹣2）或（11，﹣2）或（﹣14，﹣2）时，△POM为直角三角形．