6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1.经历两个向量数量积坐标表示的推导过程，并能运用数量积的坐标表示进行运算
2.会利用向量的坐标计算向量的模
3.能利用两个向量的坐标求向量的夹角
二、教学重难点
1.平面向量数量积的坐标表示
2.向量的模和夹角的坐标表示
三、教学过程
（一）问题引入、知识回顾
【问题引入】
问题1：设，，求及的坐标
【预设答案】
通过之前学习的向量加减法的坐标表示和向量数乘的坐标表示，可以得到答案
问题2：改变问题 设，，求.
根据向量数量积的知识可以想到要求、和
那么这三个量又如何用向量的坐标来表示，这就是本节课要学习的内容。
【设计意图】通过已知的内容进行推广提出问题，引入本节课的知识内容。
【知识回顾2】教师通过填空的形式带领学生回顾向量数量积运算的一些知识
（1） （2）
（3）或 （4）
【设计意图】复习有关向量的内容，为后面的向量数量积坐标表示推导做铺垫，也利于得到向量夹角和向量模长的有关内容。
（二）探索新知
1、平面向量数量积的坐标表示
【提出问题】已知，，怎样用与的坐标表示呢？
先引领学生对前面向量加减法和数乘运算的坐标表示的推导方法进行回顾，思考能否类比用同样的方法解决不同的问题，想到用平面向量基本定理。
根据之前所学面向量基本定理可知
，（和是两个分别与轴、轴方向相同的单位向量）
，，
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【设计意图】要强调是通过类比的思想想到用平面向量基本定理解决问题，突出不同的问题同一个解决方法的思想。
2、向量的模和夹角的坐标表示
【提出问题】通过平面向量坐标表示的公式，我们还能够得到什么其他的信息？
【预设答案】结合之前回顾的内容，还可以得到和的坐标公式，以及的充要条件：
.
.
（三）巩固练习
例1：设，,求及，的夹角的余弦值
【预设答案】
.
.
例2：用向量方法证明两角差的余弦公式
【预设答案】
假设A、B两点是角终边和角终边与单位圆的交点，所以根据三角函数的定义可得
取向量数量积的坐标表示，有
设与的夹角为，则
上面的两个式子里都存在，所以联系在一起有：
从图中我们可以观察到角和角具有两种位置关系，对应的
或，
所以以为桥梁能够得到
【设计意图】
用向量法重新证明之前学习过的三角函数中的定理，体现了向量应用的广泛性，也体现了数学中一题多解的奇妙，更能让学生体会到数学的乐趣。
3(共15张PPT)
6.3.5平面向量数量积
的坐标表示
一、问题引入
例1：设，，求及的坐标.
一、问题引入
例1：设，，求.
？
？
？
二、知识回顾
设, 是非零向量，它们的夹角为，则
=
=
=
或
=
三、探索新知
已知, ，怎样用与的坐标表示？
,
由平面向量基本定理可知
（和是两个分别与轴、轴方向相同的单位向量）
(单位向量)
(相互垂直)
类比
三、探索新知
已知, ，怎样用与的坐标表示？
由平面向量基本定理可知
(单位向量)
(相互垂直)
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
,
（和是两个分别与轴、轴方向相同的单位向量）
类比
三、探索新知
根据平面向量数量积的坐标表示，我们还能得到什么？
三、探索新知
根据平面向量数量积的坐标表示，我们还能得到什么？
三、探索新知
根据平面向量数量积的坐标表示，我们还能得到什么？
三、探索新知
根据平面向量数量积的坐标表示，我们还能得到什么？
四、巩固练习
例1：设，，求及，的夹角的余弦值.
四、巩固练习
例2：用向量方法证明两角差的余弦公式
O
A
B
终边
终边
由向量数量积的坐标表示，有
设与的夹角为，则
四、巩固练习
例2：用向量方法证明两角差的余弦公式
O
B
A
终边
终边
由向量数量积的坐标表示，有
设与的夹角为，则
或
五、知识回顾
再会！
