湖北省黄州区一中2013届高三普通班10月考试数学理试题

黄州区一中2013届高三数学理科测试卷
命 题人：孙红梅 审题人：余翔 时间:2012年10月28日晚
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）
1、设z＝1＋i（i是虚数单位），则＝
（A）－1－i 　（B）－1+i （C）1－i 　　（D）1+i
2．设集合A =， 则( )
A． B． C． D．
3．已知函数，则的值是 ( )
A． B． C． D．
4．设向量a，b满足：|a |＝1，|b |＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．下列说法中，正确的是( )
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“，”的否定是：“，”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知，则“”是“”的充分不必要条件
已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为 （ ）
A．3 B．π-3 C．3- D． -3
7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0
D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
8. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(x+2),x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 （ ）
A．f(sin)f(cos1） C．f(cos)f(sin2）
9．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　 　)．
A． 120° B．60° C．90° D．30°
10.已知函数的图象关于点（1，0）对称，且当时，成立（其中的导函数），若，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共计25分）
11．已知，则曲线和与轴所围成的平面图形的面积是_
12. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为____
13．函数y＝tan(0A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·等于_______。
14．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是________。
15.设，其中. 若对一切恒成立，则
① ；
② ；
；
③ 既不是奇函数也不是偶函数；
④ 的单调递增区间是 ；
⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．
以上结论正确的是____________ ______（写出所有正确结论的编号）
三、解答题。（本大题共6小题，共计75分）
17．(本小题满分12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，
设向量＝(a，b)，向量＝(sinB，sinA)，向量＝(b－2，a－2)
(1)若∥，求证△ABC为等腰三角形；
(2)若⊥，边长c＝2，∠C＝，求 ，求△ABC的面积．
18.（本小题满分12分）已知向量，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若，求k的取值范围。
19（本小题满分14分）,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和.
20．(本小题满分12分)已知函数，在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点,且为正三角形．
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，求函数的值域；
（Ⅲ）若，且，求的值。


　 21(本小题满分13分)某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
22（本小题满分14分）设函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点使成立，求实数的取值范围。
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
D
B
C
C
D
D
C
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共计25分）
11． 12. 13． 8 14． 15.① ② ③.
三、解答题。（本大题共6小题，共计75分）
17．(本小题满分12分)
解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定理得a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形 ……………………6分
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0.即a(b－2)＋b(a－2)＝0
∴a＋b＝ab. ……………………8分
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍)
∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝……………………12分
18.解：（1）

1911
1
1
(2), ……………… 9分
,,
…………… 10分
=2
=, ………………13分
………

（Ⅱ）
……………9分
（Ⅲ）因为（Ⅰ）有

由x0
所以，………………………11分
故

…………………………………………………

21：（1）设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40． 则日销售量为件．售价为x元时，每件利润为(x－30－a)元，则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40· (35≤x≤41) ························5(（2）L((x)＝10e40·． ························7(①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，∴L((x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数．则当x＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e5． ························9(②当4＜a≤5时，35＜31＋a≤36，令L((x)＝0，得x＝a＋31．当x∈[35,a＋31)时，L((x)＞0，L(x)在[35,a＋31)上是单调递增函数； 当x∈(a＋31,41]时，L((x)＜0，L(x)在(a＋31,41]上是单调递减函数． ∴当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为10e9?a． ························13(综上，当2≤a≤4时，L(x)max＝10(5－a)e5． 当4＜a≤5时，L(x)max＝10e9?a． ··················14(
22.