甘肃省武威市凉州区2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理科）试题（Word版，含解析）

武威市凉州区2020--2021学年度第一学期期末质量检测试卷
高 二 数 学（理科）
(时间120分钟，满分120分)
选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“a A或b B”的否定形式是(　　)
A．若a A，则b B　 B．a∈A或b∈B
C．a A且b B D．a∈A且b∈B
2．已知复数z＝，则·i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A.　 B.　
C.　　 D.
4．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A．②①③ B．③②①
C．①②③ D．③①②
5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则(　　)
图1
A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是(　　)
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)
A．－e B．－1
C．1 D．e
8．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1 AB C为(　　)
A.　 B.
C.　　 D.
9．命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
10．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为(　　)
A．－ B.
C．± D．±
11．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为(　　)
A．恒正 B．恒等于0
C．恒负 D．不确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
13.已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝________．
14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
15．曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为__________.
16．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝________ .
三、解答题(本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分8分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
18．(本小题满分8分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
19．(本小题满分10分)已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点（1，3）。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间；
20．(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC．
（1）证明：A1C⊥平面BED；
（2）求二面角A1－DE－B的余弦值．
21．(本小题满分10分)已知椭圆:的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
22．(本小题满分10分)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
高二数学（理科）期末测试题答案
(时间120分钟，满分120分)
选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.D 2.B 3.B 4.D 5. A 6. D 7 .B 8.D 9.C 10.C 11.A 12. A
1.【解析】　“p或q”的否定为“綈p且綈q”，D正确．
【答案】　D
2．B
【解析】　∵z＝＝，∴＝＋i，
∴·i＝－＋i.
【答案】　B
3．B
【解析】　由题意，1－＝＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
【答案】　B
【答案】　B
4．D
【解析】　该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
【答案】　D
5．A
【解析】　根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．
【答案】　A
6．D
【解析】　由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak－1，且共有k项．故选D.
【答案】　D
7．B D．e
【解析】　∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.
【答案】　B
8．D
【解析】　以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1)，平面ABC1的一个法向量为＝(0，1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1 AB C为锐角，即π－π＝，故选D.
【答案】　D
9．C
【解析】　∵ x∈[1，2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
【答案】　C
10．C
【解析】　由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.
11．A
【解析】　由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.
【答案】　A
12．A
【解析】　可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(－x)＋(－x)3－ln(＋x)＝0，
所以函数为奇函数，同时，
f′(x)＝3x2＋>0，f(x)是递增函数，＝，所以>0，所以选A.
【答案】　A
填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
13. 5 14．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 15．－ 16．2
解析
13. 5
【解析】　由已知，得＝k，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1，3)，得到p＝3，q＝2，p＋q＝5.
【答案】　5
14．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
【解析】　第n个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
【答案】　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
15．－
【解析】　由于曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为eq \i\in(,,)∫dx＝ ＝－.
【答案】　－
16．2
【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得k>－1，且x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2，
【答案】　2
三、解答题(本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分8分)．
【解】　z＝＝＝
＝＝＝1－i.
因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b
＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，
所以解得
18．(本小题满分8分)【解】　∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．∴BA.
当B＝ 时，得a＝0；
当B≠ 时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
19．(本小题满分10分)
解：（1）∵切点为（1，3）
∴k+1=3，得k=2
∵
∴
则
由
则
由
20．(本小题满分10分)
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
依题设知B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．
则＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，－4)，＝(2，0，4)．
（2）设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，
则n⊥，n⊥，∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0．
令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4，1，－2)．
∴cos〈n，〉＝．∴二面角A1－DE－B的余弦值为．
21．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）由题意可知：，，所以.
所以 .
所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.
……………………………………4分
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，.
由可得：.
所以 ，，.
……………………………………6分
所以 的面积
.
………………………………………8分
因为的面积为，
所以.
令，则.
解得（舍），.
所以.
所以直线的方程为或.
……………………………………10分
22．(本小题满分10分)
【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为
g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.