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2.5.3切线长定理教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：9
课 题 切线长定理 课型 新授课
教学目标 1. 理解切线长的概念； 2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理； 3. 能运用切线长定理解答问题； 4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力.
教学重点 1. 推导切线长定理； 2. 运用切线长定理解答综合性几何问题.
教学难点 1. 推导切线长定理； 2. 理清解题思路，总结解题规律，切实提高解题能力.
教 学 活 动
一、情景导入 师问生答，PPT展示： 1、 切线的判定定理是什么？ 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、 圆的切线有什么性质？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 3、 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？ 口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离. 二、教学新知 （一）讲解切线的概念 1、 探究问题 如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上一点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法作出切线PB。你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？ 生：因为PA经过半径OA的外端，且PA⊥OA，所以PA是⊙O的切线. 2、 讲解概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。 （二）探究切线长定理 1、 操作—发现—验证 （1）操作发现： 在透明纸上画出右图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？ 生：我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=∠BPO. （2）抽象猜测： 生：由此我们猜测： 过圆外一点所作圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .2、 定理证明 （1）提出问题，讨论证法： 师：我们的猜测是真的吗？如何证明？ 生：我们知道，解决与切线有关的问题可以连半径。连接OA，OB，如右图，得到Rt△PAO和Rt△PBO，若能证明Rt△PAO≌△PBO，问题就解决了。 （2）合作讨论，证明结论： 证明：连接OA，OB，如右图. ∵ PA，PB是⊙O的切线， ∴ ∠ PAO=∠PBO=90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形. 又∵ OA= OB，OP= OP， ∴ △PAO ≌△PBO. ∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 3、 总结概括，展示定理： PPT： 由此得到切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 三、讲解例题 例2 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD. 分析：因为AD为直径，连接AB，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB。因此要证CO∥BD，只要利用切线长定理证CO ⊥AB即可. 证明：连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线， ∴ CA=CB，∠ACO=∠BCO， ∴ CO ⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD=90°， 即 BD⊥AB ∴ CO∥BD. 四、课堂总结 1、 什么叫做切线长？ 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 2、 什么叫做切线长定理？ 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 3、 运用切线长定理解题时，有哪些常作的辅助线？ 连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点. 4、 运用切线长定理时，常用到以前学过的哪些知识？ 直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质和判定等基本知识. 五、巩固练习 第72页课后练习第1、2题： 1、 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆的半径为2，AB=5，求四边形ABCD的周长. 参考答案： 解：∵半圆O与AD，AB，BC相切， ∴ AD=AE，BC=BE， ∴ AD+BC=AE+BE=AB. ∴ 四边形ABCD的周长为： AD+BC+AE+BE+CD=AB+AB+CD=14. 2、 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数. 思路引导： ⑴∵ PA是⊙O的切线，∴ PA⊥PB. ⑵ 在Rt△PAO中，利用锐角三角函数求出∠AOP. ⑶同理求出∠BOP，即可求∠AOB. 参考答案： 解：∵PA是⊙O的切线， ∴ PA⊥PB. 在Rt△PAO中，OP=4，PA=， ∴ sin∠AOP=. ∴ ∠AOP=60°. 同理得 ∠BOP=60°， ∴ ∠AOB=120°. 六、能力提升 3、 (资阳中考)如图，已知AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°. (1)求∠BAC的度数； (2)若PA=1，求点O到AB的弦长 解：解：(1)∵ PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， ∴ PA=PB. 又∵ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形. ∴ ∠PAB==60°. 又∵ AC是⊙O的直径， ∴ AC⊥PA，即∠PAC=90°. ∴ ∠BAC==30°. (2)∵ 连接OP，交AB于点D，则AD为点O到AB的距离. ∵ PA=PB，∠APO=∠BPO， ∴ PO垂直平分AB. 由(1)可得AB=PA=1，则AD=. 在Rt△PAB中，tan∠BAC=. ∴ OD=ADtan∠BAC=1/2tan30°=.
板书设计 2,5.3切线长定理 1、 切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 2、 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 3、 常用辅助线：连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点. 4、 涉及图形：直角三角形、等腰三角形和全等三角形
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
2.5.3切线长定理
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解切线长的概念；
2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理；
3. 能运用切线长定理解答问题；
4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力.
新知导入
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1. 切线的判定定理是什么？
圆的切线垂直于过切点的半径.
2. 圆的切线有什么性质？
3. 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？
口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离.
新知讲解
如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上一点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法作出切线PB。你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？
说一说
因为PA经过半径OA的外端，且PA⊥OA，所以PA是⊙O的切线.
新知讲解
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。
新知讲解
在透明纸上画出右图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？
探究
新知讲解
我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=∠BPO.
新知讲解
由此我们猜测：
过圆外一点所作圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
新知讲解
我们的猜测是真的吗？如何证明？
我们知道，解决与切线有关的问题可以连半径。连接OA，OB，如右图，得到Rt△PAO和Rt△PBO，若能证明Rt△PAO≌△PBO，问题就解决了。
新知讲解
证明：连接OA，OB，如右图.
∵ PA，PB是⊙O的切线，
∴ ∠ PAO=∠PBO=90°，
即△PAO和△PBO均为直角三角形.
又∵ OA= OB，OP= OP，
∴ △PAO ≌△PBO.
∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO.
由此得到切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
新知讲解
新知导入
例5 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.
求证：CO∥BD.
分析：
因为AD为直径，连接AB，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB。因此要证CO∥BD，只要利用切线长定理证CO ⊥AB即可.
O
A
B
C
D
新知导入
证明：连接AB.
∵ CA，CB是⊙O的切线，
∴ CA=CB，∠ACO=∠BCO，
∴ CO ⊥AB.
O
A
B
C
D
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ABD=90°，
即 BD⊥AB
∴ CO∥BD.
课堂总结
1. 什么叫做切线长？
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
2. 什么叫做切线长定理？
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
课堂总结
3. 运用切线长定理解题时，有哪些常作的辅助线？
连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点.
4. 运用切线长定理时，常用到以前学过的哪些知识？
直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质和判定等基本知识.
巩固练习
第72页课后练习第1、2题：
1. 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆的半径为2，AB=5，求四边形ABCD的周长.
解：∵半圆O与AD，AB，BC相切，
∴ AD=AE，BC=BE，
∴ AD+BC=AE+BE=AB.
∴ 四边形ABCD的周长为：
AD+BC+AE+BE+CD=AB+AB+CD=14.
2. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数.
思路引导：
1. ∵ PA是⊙O的切线，∴ PA⊥PB.
2. 在Rt△PAO中，利用锐角三角函数
求出∠AOP.
3. 同理求出∠BOP，即可求∠AOB.
巩固练习
解： ∵PA是⊙O的切线，
∴ PA⊥PB.
在Rt△PAO中，OP=4，PA=，
∴ sin∠AOP===.
∴ ∠AOP=60°
.
同理得 ∠BOP=60°，
∴ ∠AOB=120°.
巩固练习
能力提升
3. (资阳中考)如图，已知AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若PA=1，求点O到AB的弦长.
能力提升
解：(1)∵ PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴ PA=PB.
又∵ ∠APB=60°，
∴ △PAB是等边三角形.
∴ ∠PAB==60°.
又∵ AC是⊙O的直径，
∴ AC⊥PA，即∠PAC=90°.
∴ ∠BAC==30°.
能力提升
(2)∵ 连接OP，交AB于点D，则AD为点O到AB的距离.
∵ PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴ PO垂直平分AB.
由(1)可得AB=PA=1，则AD=.
在Rt△PAB中，
O
A
B
P
C
D
∴ OD===.
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