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2.5.4三角形的内切圆教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：6
课 题 三角形的内切圆 课型 新授课
教学目标 1. 理解三角形的内切圆、三角形的内心等概念； 2. 理解画三角形的内切圆的步骤，会画三角形的内切圆； 3. 能能根据三角形的内切圆求角、边和内切圆半径； 4. 提高综合运用几何知识解决问题的能力.
教学重点 1. 通过探究画三角形的内切圆的方法，理解三角形的内切圆的有关概念； 2. 运用三角形的内切圆概念解决问题
教学难点 1. 理解画三角形的内切圆的方法和步骤，能较好地画出三角形的内切圆； 2. 三角形的内切圆的综合运用.
教 学 活 动
一、情景导入 师问生答，PPT展示： 1、 什么叫作三角形的外接圆？什么叫作三角形的外心？ 经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形. 三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.三角形的外接圆半径等于连接外心与三角形任意一个顶点的线段的长度. 2、 角平分线的性质定理和逆定理分别是什么？ 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 二、教学新知 （一）初步感知 1、 出示问题 想在一块三角形纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？ 2、 师生互动 生：为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边尽可能贴近. 如下图。 师：从要剪出面积最大的圆，这个圆应当与三角形的三条边尽可能贴近，你能猜测 到什么？ 生：这个圆应当与三角形的三条边都相切. （二）探究画法 1、 出示问题： 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？ 2、 合作探讨： 生1：如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O与三角形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等. 生2：到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心应是∠A与∠B的平分线的交点. 3、 动画演示： （1）明确要求 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC的各边都相切的圆. 边画边讲 作法： （1）作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O； （2）过点O作AB的垂线，垂足为M； （3）以点O为圆心， OM为半径作圆. ⊙O就是 所求作的圆. 4、 学生讨论： 与三角形的三边都相切的圆可以作多少个？ 生：由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个. （三）讲解概念 1、 讲解三角形的内切圆概念 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2、 讲解三角形的内心和半径： （1）设点O是△ABC的内心，由于AB，BC，CA都与⊙O相切，因此圆心O到AB，BC，CA的距离都等于圆的半径。从而圆心O在△ABC的每个内角的平分线上. （2）由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.. 三、讲解例题 例6 如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数. 思路引导： （1）因为⊙O是△ABC的内切圆， 所以OB，OC分别是∠ABC， ∠ACB的平分线. （2）因为∠BOC是△OBC的一个内角，因此要求 ∠BOC可先求出∠1+∠2. 解：∵ ∠A=70°， ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°. ∵ ⊙O是△ABC的内切圆， ∴ BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线. 即 ∠1=∠ABC，∠2=∠ABC. ∴ ∠BOC= 180°- (∠1 +∠2) =180° (∠ABC+∠ABC) =180° ×110° =125°. 四、巩固练习 1、 三角形的内心是（ ） A. 三角形的三条中线的交点 B. 三角形的三边的垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高的交点 D. 三角形的角平分线的交点 【答案】D 2、下列每组的两个点一定在三角形的内部的是（ ） A. 三角形的重心和外心 B. 三角形的内心和外心 C. 三角形的重心和内心 D. 垂心(三角形的三条高的交点)和三角形的内心 【答案】C 3、 下列说法不正确的是（ ） A. 直角三角形的外接圆的圆心是它的斜边中点 B. 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 C. 三角形的外心到三个顶点的距离都等于外接圆的半径 D. 钝角三角形没有外接圆圆心 【答案】D 五、课堂总结 1、 什么叫作三角形的内切圆？什么叫做三角形的内心？ 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫作三角形的内心， 这个三角形叫作圆的外切三角形. 2、 如何画三角形的内切圆？ 先定圆心：作三角形的两个角的平分线； 再定半径：过圆心作任一边的垂线段，画圆. 3、 三角形的内心是什么线的交点？与三角形的外心有什么区别？ 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 三角形的外心是这个三角形的三边垂直平分线的交点. 4、 三角形的内切圆半径与外接圆半径分别等于什么？ 三角形内切圆半径等于角平分线的交点到任一边的距离. 三角形外接圆半径等于三边垂直平分线的交点到任意一个顶点的距离。 六、课堂作业 （一）第52页课后练习第1、2、3题： 1、 任画一个三角形，求作它的内切圆. （1）教师点拨，学生作图 作图步骤速记 作两角的平分线，确定内心； 作一边的垂线段，确定半径. （2） 议一议：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部吗？ 2、 如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=74°，∠B =47°，求圆心角∠EOF的度数. 思路引导： ⑴∵AC，CB分别且⊙O于点E，F，∴ . ⑵在△ABC中求出 ， 即可在四边形EOFC中求出∠EOF. 解：∵CA，CB分别且⊙O于点E，F， ∴ OF⊥CA，OE⊥CB，即∠OFC=∠OEC=90°. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°，A=74°，∠B=47°， ∴ ∠C=59°. 又∵ ∠OFC+∠OEC+∠C=360°， ∴ ∠EOF=121°. 3、 已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆半径. 思路引导： 根据题意画出右边图形。 ∵ 等边三角形ABC三边都与⊙O相切， ∴ 连接OA，OB，OC所得△AOB，△BOC，△AOC都等于△ABC的边长乘内切圆的半径， 利用面积关系即可求出内切圆的半径. 解：连接OA，OB，OC. ∵ AB，BC，CA分别与⊙O相切于点D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. 设⊙O的半径为r. ∵ S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，且等边△ABC的边长为a， ∴ ∴ . （二）能力提升 4、 如图为4×4的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上，则下列各点中是△ABC的内心的是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】C 5、 如图，△ABC的三边分别与⊙O相切于点D，E，F，若∠DFE=55°，则∠A的大小是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 135° 【答案】C 6、 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，D，E为切点. (1)证明：四边形DCE0是正方形； (2)若△ABC的三条边分别为a，b，c，试写出⊙O的半径r与a，b，c的关系式. 思路引导： (1)利用切线的性质及已知∠C为直角，证明四边形 DCEO是矩形；再利用圆的半径相等即可完成证明. (2)连接OA，OB，OC，把△ABC分成三个三角形，利用 面积的相等关系即可求出关系式. 参考答案： 略
板书设计 2.5.4三角形的内切圆 1、 三角形的内切圆、圆的外切三角形的概念； 2、 三角形的内心、三角形的内切圆半径的意义； 3、 三角形的内切圆的画法：定内心，做半径，画圆； 4、 三角形的内切圆的应用。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
2.5.4三角形的内切圆
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解三角形的内切圆、三角形的内心等概念；
2. 理解画三角形的内切圆的步骤，会画三角形的内切圆；
3. 能能根据三角形的内切圆求角、边和内切圆半径；
4. 提高综合运用几何知识解决问题的能力.
新知导入
1. 什么叫作三角形的外接圆？什么叫作三角形的外心？
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.三角形的外接圆半径等于连接外心与三角形任意一个顶点的线段的长度.
新知导入
2. 角平分线的性质定理和逆定理分别是什么？
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
新知讲解
想在一块三角形纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
议一议
为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边尽可能贴近.如下图：
新知讲解
从要剪出面积最大的圆，这个圆应当与三角形的三条边尽可能贴近，你能猜测到什么？
这个圆应当与三角形的三条边都相切.
新知讲解
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？
动脑筋
如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O与三角形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等.
新知讲解
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心应是∠A与∠B的平分线的交点.
新知讲解
根据以上的分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切.
如图，已知△ABC.
求作：与△ABC的各边都相切的圆.
新知讲解
作法：
(1)作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O；
新知讲解
(2)过点O作AB的垂线，垂足为M；
(3)以点O为圆心， OM为半径作圆. ⊙O就是所求作的圆.
由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.
M
新知讲解
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.
新知讲解
如图，设点O是△ABC的内心，由于AB，BC，CA都与⊙O相切，因此圆心O到AB，BC，CA的距离都等于圆的半径.从而圆心O在△ABC的每个内角的平分线上.
由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
例题讲解
例6 如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数.
思路引导：
1. 因为⊙O是△ABC的内切圆，
所以OB，OC分别是∠ABC，
∠ACB的平分线.
2. 因为∠BOC是△OBC的一个内角，因此要求∠BOC可
先求出∠1+∠2.
解：∵ ∠A=70°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线.
即
例题讲解
∴ ∠BOC 180°- (∠1 +∠2)
例题讲解
巩固练习
1. 三角形的内心是（ ）
A. 三角形的三条中线的交点
B. 三角形的三边的垂直平分线的交点
C. 三角形的三条高的交点
D. 三角形的角平分线的交点
D
巩固练习
2. 下列每组的两个点一定在三角形的内部的是（ ）
A. 三角形的重心和外心
B. 三角形的内心和外心
C. 三角形的重心和内心
D. 垂心(三角形的三条高的交点)和三角形的内心
C
巩固练习
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 直角三角形的外接圆的圆心是它的斜边中点
B. 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径
C. 三角形的外心到三个顶点的距离都等于外接圆的半径
D. 钝角三角形没有外接圆圆心
D
课堂总结
1. 什么叫作三角形的内切圆？什么叫做三角形的内心？
什么叫做圆的外切三角形？
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫作三角形的内心，
这个三角形叫作圆的外切三角形.
2. 如何画三角形的内切圆？
先定圆心：作三角形的两个角的平分线；
再定半径：过圆心作任一边的垂线段，画圆.
课堂总结
3. 三角形的内心是什么线的交点？与三角形的外心有什
么区别？
三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
三角形的外心是这个三角形的三边垂直平分线的交点.
4. 三角形的内切圆半径与外接圆半径分别等于什么？
三角形内切圆半径等于角平分线的交点到一边的距离.
三角形外接圆半径等于三边垂直平分线的交点到一个顶点的距离.
课堂作业
第74页课后练习第1、2、3题：
1. 任画一个三角形，求作它的内切圆.
作图步骤速记：
作两角的平分线，确定内心；
作一边的垂线段，确定半径.
议一议：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部吗？
2. 如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=74°，∠B =47°，求圆心角∠EOF的度数.
思路引导：
⑴∵AC，CB分别且⊙O于点E，F，∴ .
⑵在△ABC中求出 ，即可在四边形EOFC中求出∠EOF.
课堂作业
解：∵CA，CB分别且⊙O于点E，F，∴ OF⊥CA，OE⊥CB，即∠OFC=∠OEC=90°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，A=74°，∠B=47°，
∴ ∠C=59°.
又∵ ∠OFC+∠OEC+∠C=360°，
∴ ∠EOF=121°.
课堂作业
3. 已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆半径.
思路引导：
根据题意画出右边图形。
∵ 等边三角形ABC三边都与⊙O相切，
∴ 连接OA，OB，OC所得△AOB，△BOC，△AOC都等于△ABC的边长乘内切圆的半径，利用面积关系即可求出内切圆的半径.
课堂作业
解：连接OA，OB，OC.
∵ AB，BC，CA分别与⊙O相切于点D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
设⊙O的半径为r.
∵ S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，且等边△ABC的边长为a，
∴
∴
课堂作业
4. 如图为4×4的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上，则下列各点中是△ABC的内心的是（ ）
A. 点D
B. 点E
C. 点F
D. 点G
能力提升
C
5. 如图，△ABC的三边分别与⊙O相切于点D，E，F，若∠DFE=55°，则∠A的大小是（ ）
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 135°
C
能力提升
6. 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，D，E为切点.
(1)证明：四边形DCE0是正方形；
(2)若△ABC的三条边分别为a，b，
c，试写出⊙O的半径r与a，b，c的
关系式.
能力提升
思路引导：
(1)利用切线的性质及已知∠C为直角，证明四边形DCEO是矩形；再利用圆的半径相等即可完成证明.
(2)连接OA，OB，OC，把△ABC分成三个三角形，利用面积的相等关系即可求出关系式.
能力提升
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