3.2 万有引力定律拓展应用 课后限时练习（Word版含解析）

万有引力定律拓展应用
基础练 (25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题5分,共30分)
1.“吴健雄星”是一颗小行星,它的密度与地球相同,表面重力加速度是地球的。已知地球的半径是6 400 km,那么“吴健雄星”的半径应该是 (　　)
A.256 km　　B.16 km　　C.4 km　　D.2 km
2.(多选)经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星"的轨道均处在火星和木星轨道之间,它们绕太阳沿椭圆轨道运行,其轨道参数如表(AU是天文学中的长度单位,大约是地球到太阳的平均距离)。“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T1和T2,它们在近日点的加速度分别为a1和a2。则下列说法正确的是 (　　)
远日点 近日点
神舟星 3.575 AU 2.794 AU
杨利伟星 2.197 AU 1.649 AU
A.T1T2
C.a1a2
3.(2021·厦门高一检测)一质量为60 kg的人,在地球表面受重力为588 N,月球表面的重力加速度为地球表面的,此人在月球表面上 (　　)
A.质量为60 kg,所受重力大小为588 N
B.质量为60 kg,所受重力大小为98 N
C.质量为10 kg,所受重力大小为588 N
D.质量为10 kg,所受重力大小为98 N
4.由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻,于2013年1月19日揭晓,“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d,天宫一号轨道距离地面高度为h,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为 (　　)
A.9∶4 B.6∶1
C.3∶2 D.1∶1
6.已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出 (　　)
A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为81∶4
二、计算题(本题共2小题,共30分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(14分)牛顿通过“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同种性质的力,于是证明了万有引力定律的正确性。已知月球的轨道半径大约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍,近似认为地球自转一周为一天24小时,月球绕地球公转一周叫一个“恒星月”,请粗略计算一个“恒星月”为多少天。(地球表面的重力加速度g近似取10 m/s2,地球半径R大约为6 400 km,=2.45,π2=10)
8.(16分)中国自行研制,具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船,目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术,其发射过程简化如下:飞船在酒泉卫星发射中心发射,由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,A点距地面的高度为h1,飞船飞行五周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示,设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,若已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,求:
(1)地球的平均密度是多少。
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小。
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。
提升练 (15分钟·40分)
9.(6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 (　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
10.(6分)经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体, 如图所示,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星球之间的距离为 L,质量之比为m1∶m2=3∶2,下列说法中正确的是 (　　)
A.m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 3∶2
B.m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 3∶2
C.m1做圆周运动的半径为L
D.m2做圆周运动的半径为L
11.(6分)(多选)一球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a表示,物体到球形行星表面的距离用h表示,a随h变化的图像如图所示,图中a1、h1、a2、h2及万有引力常量G均为已知。根据以上数据可以计算出 (　　)
A.该行星的半径
B.该行星的质量
C.该行星的自转周期
D.该行星同步卫星离行星表面的高度
12.(22分)2018年5月21日5时28分,我国在西昌卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭,成功将探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”号中继星发射升空,进入预定轨道。设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T,已知地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R。
(1)求“鹊桥”号中继星离地面的高度h。
(2)求“鹊桥”号中继星运行的速度大小v。
(3)求“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度大小。
参考答案：
基础练 (25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题5分,共30分)
1.“吴健雄星”是一颗小行星,它的密度与地球相同,表面重力加速度是地球的。已知地球的半径是6 400 km,那么“吴健雄星”的半径应该是 (　　)
A.256 km　　B.16 km　　C.4 km　　D.2 km
【解析】选B。星球表面的物体受到的重力等于万有引力即mg=G,所以M=;又M=πR3ρ,解得R=∝g,可得==,则R星=R地=×6 400 km=
16 km,故选B。
2.(多选)经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星"的轨道均处在火星和木星轨道之间,它们绕太阳沿椭圆轨道运行,其轨道参数如表(AU是天文学中的长度单位,大约是地球到太阳的平均距离)。“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T1和T2,它们在近日点的加速度分别为a1和a2。则下列说法正确的是 (　　)
远日点 近日点
神舟星 3.575 AU 2.794 AU
杨利伟星 2.197 AU 1.649 AU
A.T1T2
C.a1a2
【解析】选B、C。通过表格数据的比较,“神舟星”距太阳的距离比“杨利伟星”更远,也就是“神舟星”轨道的半长轴R更大,据开普勒第三定律:=k知“神舟星”的周期较大,所以T1>T2;又据a=可知,两星在近日点的向心加速度比较中,由于“杨利伟星”距太阳的距离较小,所以“杨利伟星”的向心加速度较大,所以a13.(2021·厦门高一检测)一质量为60 kg的人,在地球表面受重力为588 N,月球表面的重力加速度为地球表面的,此人在月球表面上 (　　)
A.质量为60 kg,所受重力大小为588 N
B.质量为60 kg,所受重力大小为98 N
C.质量为10 kg,所受重力大小为588 N
D.质量为10 kg,所受重力大小为98 N
【解析】选B。质量是物体的特性,不会随着物体的状态、形状以及空间位置的变化而变化,所以到月球上人的质量不变,因为重力G=mg,所以在月球上人的重力为98 N,B正确。
4.由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻,于2013年1月19日揭晓,“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二。若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d,天宫一号轨道距离地面高度为h,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C。设地球的密度为ρ,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:mg=G
由于地球的质量为:M=ρ·
所以重力加速度的表达式可写成:
g===πGRρ
根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为d的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力,故“蛟龙号”所在处的重力加速度g'=πGρ(R-d)
所以有=
根据万有引力提供向心力
G=ma
“天宫一号”的加速度
a=
所以=
所以=
故应选C。
5.已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为 (　　)
A.9∶4 B.6∶1
C.3∶2 D.1∶1
【解析】选A。设月球质量为M',半径为R',地球质量为M,半径为R。
已知=81,=4,
根据万有引力等于重力得:=mg
则有:g=
因此= ①
由题意知物体从同样高度抛出,
h=gt2=g't'2 ②
联立①②解得:t'=t
在地球上的水平位移s地=v0t
在月球上的水平位移s月=v0t';
因此得到:s月∶s地=9∶4,故A正确,B、C、D错误。
6.已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出 (　　)
A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为81∶4
【解析】选C。ρ==,已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍,所以地球的平均密度与月球的平均密度之比约为81∶64。故A错误;根据万有引力等于重力得:=mg,得:g=,其中R为星球半径,M为星球质量。所以地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81∶16。故B错误;研究航天器做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,列出等式=m,得:T=2π,其中R为星球半径,M为星球质量。所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9,故C正确;研究航天器做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,列出等式=m,得:v=,其中R为星球半径,M为星球质量,所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为9∶2,故D错误。
二、计算题(本题共2小题,共30分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(14分)牛顿通过“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同种性质的力,于是证明了万有引力定律的正确性。已知月球的轨道半径大约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍,近似认为地球自转一周为一天24小时,月球绕地球公转一周叫一个“恒星月”,请粗略计算一个“恒星月”为多少天。(地球表面的重力加速度g近似取10 m/s2,地球半径R大约为
6 400 km,=2.45,π2=10)
【解析】在地球表面,重力的本质是万有引力,且重力几乎等于万有引力,即
G=mg
设月球的质量为m',受到地球的万有引力而产生的加速度为a,则
G=m'a
此加速度也是月球的向心加速度,设“恒星月”为T。即
a=·60R
代入数据得
T=27.2天
答案:27.2天
8.(16分)中国自行研制,具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船,目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术,其发射过程简化如下:飞船在酒泉卫星发射中心发射,由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,A点距地面的高度为h1,飞船飞行五周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示,设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,若已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,求:
(1)地球的平均密度是多少。
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小。
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。
【解析】(1)根据质量、密度、体积间的关系可知,地球的质量为:
M=ρ·πR3 ①
在地球表面附近,万有引力与重力近似相等,有:
mg=G ②
由①②式联立解得:地球的平均密度
ρ=
(2)根据牛顿第二定律有:
G=maA ③
由②③式联立解得,飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为:
aA=
(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力,有:
G=m(R+h2) ④
由题意可知,飞船在预定圆轨道上运行的周期为:
T= ⑤
由②④⑤式联立解得,椭圆轨道远地点B距地面的高度为:
h2=-R
答案:(1)　(2)　(3)-R
提升练 (15分钟·40分)
9.(6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 (　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
【解析】选C。设脉冲星质量为M,密度为ρ,根据天体运动规律知:≥
m()2R, ρ==,代入可得:ρ≥5×1015 kg/m3 ,故C正确。
10.(6分)经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体, 如图所示,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星球之间的距离为 L,质量之比为m1∶m2=3∶2,下列说法中正确的是 (　　)
A.m1、m2 做圆周运动的线速度之比为 3∶2
B.m1、m2 做圆周运动的角速度之比为 3∶2
C.m1做圆周运动的半径为L
D.m2做圆周运动的半径为L
【解析】选C。由于双星系统中,m1、m2完成一次圆周运动的时间相同,故它们的角速度之比ω1∶ω2=1∶1,故B错误;两颗星球组成的双星系统,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动,设它们的轨道半径分别为r1和r2,则:
G=m1r1
G=m2r2
r1+r2=L
联立解得:
r1=L=L
r2=L=L
又根据圆周运动角速度和线速度的关系v=ωr可知:
===2∶3,故A、D错误,C正确。
11.(6分)(多选)一球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a表示,物体到球形行星表面的距离用h表示,a随h变化的图像如图所示,图中a1、h1、a2、h2及万有引力常量G均为已知。根据以上数据可以计算出 (　　)
A.该行星的半径
B.该行星的质量
C.该行星的自转周期
D.该行星同步卫星离行星表面的高度
【解析】选A、B。球形行星对其周围质量为m的物体的万有引力:
F=ma=
所以:a1=,a2=,
联立可得:R=,A正确;
将R=代入加速度的表达式a1=即可求出该行星的质量,B正确;由于题目
已给条件以及相关的公式的物理量都与该行星自转周期无关,所以不能求出该行星的自转周期,C错误;由于不能求出该行星的自转周期,所以也不能求出该行星同步卫星离行星表面的高度,D错误,故选A、B。
12.(22分)2018年5月21日5时28分,我国在西昌卫星发射中心用“长征四号丙”运载火箭,成功将探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”号中继星发射升空,进入预定轨道。设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T,已知地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R。
(1)求“鹊桥”号中继星离地面的高度h。
(2)求“鹊桥”号中继星运行的速度大小v。
(3)求“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度大小。
【解析】(1)设地球质量为M,“鹊桥”号中继星的质量为m,
万有引力提供向心力:G=m(R+h)
对地面上质量为m'的物体有:G=m'g
联立解得:h=-R
(2)“鹊桥”号中继星速度大小为:v=
联立解得:v=
(3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小为:a=
得:a=
答案:(1)-R　(2)
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