(共22张PPT)
3.3.1 几何概型
我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？
例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。
我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？
例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。
例2. 在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们都不是古典概型。
先看例1，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之比来衡量，即P(A)=
同样地，例2中由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比
总之，这两个试验的共同点是：
如果把事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为几何概型 .
Ω
在几何概型中，事件A的概率定义为：
其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量 .
几何概型具有两个特点：
一是无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数个；
二是等可能性：在试验中，每一个基本事件发生的可能性是均等的。
例3.随机事件A：“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型。
解：尽管这里事件满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量。所以事件A不是几何概型。
例4.下列随机试验是否为几何概型？为什么？ （1）经过严格训练的枪手的打靶；（2）某学生从家里到达学校所用的时间。
答案：（1）不是；（2）是。
例5. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 如图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.
由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，阴影A的面积为30×20－26×16=184(m2).
∴P（A）= ≈0.31.
例6.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，
参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，
所以P(A)=
例7.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得
P(A)=
例8. 假设你家订了一份报纸，送报人在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
解：这里涉及到两个变量，把送报人的时间设为x变量，父亲上班的时间设为y变量，于是得到数对(x，y)，表示某一天两个变量之间的关系。
总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}.
事件A满足的条件是
A={(x,y)| y≤x, x∈Ω, y∈Ω}.
在直角坐标系中画出图形。
总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}.
事件A满足的条件是
A={(x,y)| y≤x, x∈Ω, y∈Ω}.
在直角坐标系中画出图形。
Ω表示的是矩形面积1，
A表示的是阴影部分面积
所以P(A)=
例9. 如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在XOT内的概率.
解：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的。落在∠XOT内的概率只与∠XOA的大小有关，符合几何概型的条件。
记事件A={射线OA落在∠XOT内}.
因为∠XOT=60°，
所以P(A)=
例10. 将长为l的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率.
解：设A=“3段长度能构成三角形”，x，y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，
试验的全部结果可构成集合
Ω={(x，y)| 0要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度。
故所求结果构成的集合
A={(x，y)| x+y> ,x< ,y< },
即x+y>l－x－y (x+y)> ；
x+l－x－y>y y< ；同理x< 。
由图可知，所求概率为
P(A)=(共27张PPT)
3.3
随机数的含义与应用
3.3.1
几
何
概
型
课前预习·巧设计
名师课堂·一点通
创新演练·大冲关
第三章
概率
考点一
考点二
考点三
N0.1 课堂强化
N0.2 课下检测
读教材·填要点
小问题·大思维
[读教材·填要点]
1．几何概型的定义
如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的 ( 、 或 )成正比，而与A的 和 无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
几何度量
长度
面积
体积
位置
形状
[小问题·大思维]
1．几何概型有何特点？
提示：几何概型的特点是无限性和等可能性．
2．几何概型的概率是否与构成事件的区域形状有关？
提示：几何概型的概率与构成事件的区域形状无关，而
只与它的长度(面积或体积)有关．
3．如何用几何概型解释随机事件的概率可以是0或1
提示：如果随机事件所在区域是一个单点，由单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P(A)＝1)，但它不是必然事件．
[例1] 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？
[自主解答] 如图所示，记A＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．
[悟一法]
用几何概型求概率的步骤:
①判断是否是几何概率．
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应 的区域的几何度量(长度、面积或体积)．
③利用概率公式计算．
[通一类]
1．[例题多维思考] 若改为求剪得两段中一段大于2.5米，
另一段小于0.5米的概率有多大．
[例2] 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM[悟一法]
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可以用线段代替．
2．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A
连接，求弦长超过半径的概率．
[例3] 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30～7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00～8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少
[自主解答] 如图，设送报人到达的
时间为x，父亲离开家的时间为y.
(x，y)可以看成平面中的点．
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1.
[悟一法]
[通一类]
答案：C
设有一个正方形网格，其中每个小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率．
[错因] “硬币落下后与格线有公共点”并不是只与上下两条格线有公共点，还有左右两条格线被漏掉了．此几何概型是面积之比而不是长度之比．(共25张PPT)
3.3.1几何概型
（1）每个基本事件出现的可能性相等;
（2）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
复 习 巩 固
古典概型的特征：
试验2：转动一个均匀的转盘，
观察指针的位置
试验1:掷一颗均匀的骰子，观察
向上的点数
几何概型的特点
（1）基本事件的个数无限--------无限性
（2）每个基本事件发生的可能性均等------等可能性
判断下列试验是否为几何概型
1.向一个圆内随机地撒一粒豆子,观察豆子落在圆内的位置.
2.以原点为起点.在坐标平面内随机地作一条射线,观察的射线位置.
3.一盒子中放有5个小球,编号为1--5,从中随机地取出一球,观察它的编号.
图一
图二
转盘游戏:
图三
向一条线段上随机地投一点,观察点落在
线段上的位置.
试验:
A
B
C
D
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
几何概型定义
几何概型的概率计算公式:
=
P(A)
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
思考
在几何概型中，事件A的概率的求解步骤？
记事件
指出概率类型
构造几何图形
计算几何度量
求概率
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,
用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小
杯水中含有这个细菌的概率.
解: 记A=“小杯水中含有这个细菌”
P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求金鱼离岸边不超过2米的概率？
30m
20m
解:记A=“金鱼离岸边不超过2米”
P(A)=(600-26×16)/600=23/75
例3：取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大？
1
1
1
1
A
B
C
D
解:记A=“剪得两段的长都不少于1米” P(A)=1/3
例： 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径rM
O
2a
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。这是一个几何概型问题。
M
O2
2a
O1
考考你:高考预测题
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题,利用几何概型的概率公式来求解.
关 键:
课堂小结
(1)几何概型的特点
(2)几何概型的定义
(3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1的概率是：（ ）
A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9
2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概率是（ ）
A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6
3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是（ ）
A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
达标训练
例4： 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径rM
r
O
2a
方法二：
截取长为L的一段,转化为面积
小结:学习本节应注意的问题:
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
体积有关的题目;
3.求解公式为
3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 的概率为（ ）
长度
2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ ）
练习：求下列事件的概率
角度
4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的
面积小于 的概率为（ ）
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，
那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ ）
面积
视野拓展
在所示的边长为2的正方形中随机撒一粒豆子.求豆子落在圆中的概率。
2
思考：若改为撒一大把豆子且能计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数，可用此估计圆周率π的值。试说明其中的原理(共17张PPT)
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几何度量
正比
形状
位置
几何概型
区域Ω的几何度量
子区域A的几何度量
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第三章概率
THE THIRD CHAPTER
§33随机数的含义与应用
填一填·知识要点、记下疑难点
研一研·问题探究、课堂更高效
30
20
M
2al
练一练·当堂检测、目标达成落实处