四川省绵阳市游仙区开元高中2021-2022学年高二上学期12月月考数学（文）试卷（PDF版含答案）

2021 年 12 月
2021 年秋季高 2020 级 12 月月考
数学试题（文科）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴
在答题卡的指定位置．
2．选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔书写
在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.）
1．从某班 50名学生中抽取 6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是 （ ）
A．50名学生是总体 B．每个被调查的学生是个体
C．抽取的 6名学生的视力是一个样本 D．抽取的 6名学生的视力是样本容量
2．直线 l的倾斜角等于直线 3x y 0倾斜角的 2倍；则直线 l的斜率是 （ ）
A 2 3． B． 3 C． 2 3 D． 3
3
3．我国已进行了 7次人口普查，右图是 7次人口普查
男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据
统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（ ）
A．1964年至1982年间人口平均增长率最大
B．1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓
C．具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大
D．男性人数与女性人数的差值逐步减小
4．方程 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6化简的结果是 （ ）
x2 y2 2A 1 B x y
2 2 2 2 2
． ． 1 C x y x y． 1， x 3 D． 1， x 3
9 7 25 9 9 7 9 7
5．总体由编号为 00,01,02，…，48,49的 50个个体组成，利用下面的随机数表选取 6个个体，从随机数表
第 5行的第 9列和第 10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 3个个体的编号为 ( )
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附：第 5行至第 8行的随机数表如下：
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．33 B．16 C．38 D．20
6．执行如右图所示的程序框图，若输入m 518，n 185，则输出的结果是（ ）
A． 41 B．37 C． 23 D．17
7．点 (0, 1)到直线 (m 2)x (m 1)y (m 2) 0的距离的最大值为 （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
8．A， B，C，D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位
妈妈和个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C的车的概率是 （ ）
1 1 5 2A． B． 2 C． D．3 9 3
9．过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点 F的直线依次交抛物线及准线于点 A,B,C（A点在 x轴上方），若
| BC | 2 BF ，且 | AF | 3，则抛物线的方程为 （ ）
y2 3 x 9A． B． y2 3x C 2． y x D． y2 9x
2 2
x210 y
2 a
．已知双曲线C： 2 2 1 (a>0, b>0)，直线 l过双曲线的右焦点且斜率为 ，直线 l与双曲线C的a b b
OM
两条渐近线分别交于M N两点（M 点在 x轴的上方），且 2ON ，则双曲线C的离心率为 （ ）
2
A．2 B． 3 C． 2 D．3 3
11．已知直线 l：3x 4y m 0和圆C： x2 y2 4x 2y 1 0，且圆C上至少存在两点到直线 l的距离为
1，则m的取值范围是 （ ）
A． 17,13 B． 17, 7 C． 17, 7 3,13 D． 17, 7 3,13
x2 y2
12．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0),F1,F 2 为 C的左 右焦点，P(m,n)(m 0,n 0)为 C 上一点，且△PF F 的内a b 1 2
心 I (s,1)，若△PF1F2的面积为 2b，则 n 的值为 （ ）
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3 4 8
A． B． C． D．3
5 3 3
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中相应位置.)
13．已知点 M，N的坐标分别为 5,5,8 ， 1,1,4 ，则线段 MN的中点到坐标原点的距离为 .
14．样本数据为 x1，x2，x3，x4，x5的平均数为 5，方差为 2，现加入一个数 5，得到新样本的方差为______.
x215 4,4 a y
2
．在区间 上任取一个实数 ，使得方程 1表示焦点在 轴的椭圆的概率为 ．
a x 2 3 a

16．已知点 P为抛物线 C：y = x2上的动点，过点 P作圆 M：x2 ( y 2)2 1的一条切线，切点为 A，则 PA PM
的最小值为____________．
三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分 10分)已知平面内两点 A（﹣1，2），B（1，4）.
（1）求过点 P（2，﹣3）且与直线 AB平行的直线 l的方程；
（2）一束光线从 B点射向（1）中的直线 l，若反射光线过点 A，求
反射光线所在的直线方程.
18．(本小题满分 12分) 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界
闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4月 23日为世界
读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调
查了 100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统
计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这 100位年轻人每天阅读时间的平
均数 x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取 5人，再从
中任选 2人进行调查，求其中至少有 1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．
19．(本小题满分 12分)已知圆C的圆心在 x轴的正半轴上，与 y轴相切，并且被直线 x y 0截得的弦长为
2 .
（1）求圆C的方程；
（2）过点 P 3,1 作圆C的两条切线，切点分别为 A,B，求直线 AB的方程.
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20．(本小题满分12分)某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该
公司为了将 A型材料更好地投入商用，拟对 A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造
投入 x（亿元）与产品的直接收益 y（亿元）的数据统计如下：
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当0 x 17时，建立了 y与 x的两个回归模型：模型①：y 4.1x 10.9，模型②：y 21.3 x 14.4；当 x 17
时，确定 y与 x满足的线性回归方程为 y 0.7x a ．
回归模型 模型① 模型②
（1）根据右侧表格中的数据，比较当0 x 17时模
型①，②的相关指数 R2的大小，并选择拟合精度更高、 回归方程 y 4.1x 10.9 y 21.3 x 14.4
更可靠的模型，预测对 A型材料进行应用改造的投入 7
yi y i 2 79.13 20.2
为 17亿元时的直接收益； i 1
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于 20
亿元时，国家给予公司补贴 5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模
型，比较投入 17亿元与 20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
n
y y 2i i
2
（附：刻画回归效果的相关指数 R 1 i 1n ，且当 R2越大时，回归方程的拟合效果越
yi y 2
i 1
好． 17 4.1．用最小二乘法求线性回归方程 y b x a 的截距： a y b x．）
21．(本小题满分 12分)已知动点M 到点 1,0 的距离比它到 y轴的距离大1．
（1）求动点M 的轨迹W的方程；
（2）若点 P 1, y0 y0 0
1
、M、N在抛物线 C上，且 kPM kPN ，求证：直线MN过定点．2
22 ( 2．本小题满分 12分)已知 A(1,0)，动点C在 B： x 1 y 2 8上运动.线段 AC的中垂线与 BC交于D .
（1）求D点的轨迹 E的方程；

（2）设M 、 N、 P三点均在曲线 E上，且OM ON OP 0，（O为原点），求 MN 的范围.
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2021 年秋季高 2020 级 12 月月考
数学试题（文科）解析
一、选择题：
CDDCD BBABB AC
二、填空题
5 5 3
13.7 14. 15. 16.
3 16 4
4 2
17.（1）由直线的点斜式方程可得直线 l：y+3 1 1 （x﹣2），
即直线 l的方程为 x﹣y﹣5＝0；
（2）设 B（1，4）关于直线 l的对称点 B'（m，n），
n 4 1 1
所以 1，
m 1 2
（m+1） （n+4）﹣5＝0，
2
m 9
解得 ，所以 B'（9，﹣4），
n 4
4 2 3 3
kB'A 9 1 5，由点斜式方程可得 y﹣2 （x+1），5
整理可得 3x+5y﹣7＝0，
所以反射光线所在的直线方程为 3x+5y﹣7＝0．
18.解：（1）根据频率分布直方图得： (0.005 0.01 2a 0.045) 10 1
a 0.02根据频率分布直方图得：
x (55 0.01 65 0.02 75 0.045 85 0.02 95 0.005) 10 74，
（2）由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1∶2∶2，
故抽取的 5人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：1人，2人，2人，
记[50,60)的 1人为 a，[60,70)的 2人为b， c，[80,90)的 2人为A， B
故随机抽取 2人共有 (a ,b)， (a,c)， (a, A)， (a,B)， (b,c)， (b, A)，
(b,B)， (c, A)， (c,B)， (A,B)10种，
其中至少有 1人每天阅读时间位于[80,90)的包含 7种，
故概率 P
7
．
10
a
19.（1）设圆C 2的方程为 x a y2 a2 a 0 ，因为C到直线 x y 0距离为 ，
2
2
a2 a
2
2
所以 ，解得 a 1
2
，所以圆C的方程为 x 1 y 2 1；
2 2
（2）因为 PA,PB是圆C 的切线，所以 PAC PBC ，所以 P, A,B,C在以 PC为直径的
2
圆上.
1PC 2中点坐标为 2, 2 ， PC 3 1 1 0
2 5 ，

2
2 1 5
所以以 P 3,1 与C 1,0 为直径端点圆的方程为 x 2 y .
2 4
22 1 5
x 2 y
联立方程组 2 4，两式相减得 2x y 3 0 .
2 2
x 1 y 1
所以直线 AB的方程为 2x y 3 0 .
20.（1）对于模型①，
y 15 22 27 40 48 54 60对应的 =38，
7
12 12
2
故对应的 yi y y 2 7y 2i 1750 ，
i 1 i 1
2 79.13
故对应的相关指数 R1 1 0.955，1750
R2 1 20.2对于模型②，同理对应的相关指数 2 0.988，1750
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对 A型材料进行应用改造的投入为 17亿元时的直接收益为 y 21.3 17 14.4 72.93.
（2）当 x 17时，
x 21 22 23 24 25 23 y 68.5 68 67.5+66+65后五组的 ， 67，
5 5
由最小二乘法可得 a 67 0.7 23 83.1，
故当投入 20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
0.7 20 83.1+5 74.1 72.93，
故投入 17亿元比投入 20亿元时收益小.
21解：（1）抛物线的方程为 y2 4x．
（2）证明： P 1, y0 y0 0 ， P 1,2 ，设直线 MN的方程为 x my n，
M 1 2 1 2 y1 , y ， N4 1
y , y ，
4 2 2
x my n
联立 ，得 y22 4my 4n 0y 4x ，
所以 y1 y2 4m， y1y2 4n，
k y 1 2 4
所以 PM 1 y2 1 y1 2，
4 1
同理可得 k
4
PN y 2，2
k k 1因 PM PN ，2
16 1
所以 y1 2 y2 2 2
，
所以 y1y2 2 y1 y2 36 0，
所以 n 2m 9 0，即 n 2m 9（满足 0），
直线 MN的方程为 x my 2m 9 m y 2 9，
所以直线 MN过定点 9, 2 ．
22.（1） BD DA BD DC BC 2 2 2 2 AB
∴D点轨迹是以 A、 B为焦点椭圆.
x2
a2 2， c2 1， b2 1， y2 1 .
2
（2）当MN斜率存在时，设MN : y kx m
x2 2y2 2

y kx m
1 2k 2 x2 4mkx 2m2 2 0 ，令两根为 x1， x2 .

由OM ON OP 0 .
xp x1 x2
4mk 2m
， y
1 2k 2 p
y1 y2 k x1 x2 2 m .1 2k 2
2 8m2k 2 4m2x
代入 y2 1， 1
2 1 2k 2 1 ， 2k 2
即 4m2 1 2k 2 .
故 8 1 2k 2 m2 6 1 2k 2 0.
2
MN 1 k2 x x 6 1 k 6 1 k
2
3 1 1 1 k 2 ， ， 3, 6 1 2 .2 1 2k 21 2k 1 2k 2
当MN x轴时，易求 MN 3， MN 范围是 3, 6 .