沪科版数学九年级上册 21.2 二次函数y=ax2的图像和性质教案

21.2二次函数的图象和性质
二次函数y=ax 的图象和性质
一、教材分析：
（一）地位和作用
　　本节课是二次函数的图象和性质的第一课时，在学生已经学习了函数的概念，函数的表示方法，函数图象的研究方法，以及对一次函数的图象和性质有了深入的研究基础上，进一步研究二次函数y=ax 的图象和性质 ，一方面，它是对前面函数、一次函数的研究方法和过程的延续；另一方面，它不仅是对二次函数y=ax 的图象和性质的探究，而且还为后面学习形如y=ax +k ,y=a(x+h) , y=a(x+h) +k一系列二次函数的图象和性质作了一定的知识方法和能力上储备，它在本章中起着承上启下的作用.
（二）、教学内容分析
本节课主要内容是y=ax 的图象和性质，教材从最特殊的二次函数y=x 出发，在依次研究y=2x ， 的图象和性质，从形状、开口大小、开口方向、对称性、顶点坐标、上升下降趋势来观察他们的图象特征，归纳此类函数的性质，采用类比一次函数的研究方法，让学生去探究，以富有开放性、探索性的问题为诱饵，引导学生从数和形的角度去观察、分析、对比、归纳.本节课的教学，既要培养观察、分析、归纳的能力，又要渗透类比、从特殊到一般、数形结合的数学思想方法.所以本节内容对培养学生的探索精神、创新意识和积累数学活动经验，也有着非常重要的意义.
二、教学目标：
1、会用描点法画出形如y=ax 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；
2、了解二次函数y=ax 的图象特征和性质；
3、在类比探究二次函数y=ax 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.
三、教学重难点：
重点：数形结合的研究y=ax 的图象和性质.
难点：用描点法准确的画出y=ax 的图象和a的绝对值越大，张口越小的归纳.
四、学情分析：
九年级学生要注重培养识图能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和 逻辑推理能力，通过前面对函数、一次函数等相关知识的学习，他们的认知水平、分析图象的能力有了一定基础.
本班学生整体素质中等，教学中仍应关注基础，善待差异，积极调动学生学习积极性，积极评价学生的学习过程，以民主、平等、温情和积极的课堂文化来促进和激励学生的数学学习.
五、教学环境及准备：
多媒体教学环境；学生要准备几何作图工具、网格纸；教师准备课件、三角板.
六、教学策略：
综合运用启发式、谈话法、讲练结合法等；引导学生经历观察、比较、分析、归纳、猜想、验证和说理的全过程，积累数学学习和活动经验，体会问题研究的一般方法；指导学生学会从特殊到一般、学会从具体的研究对象中抽象出一般特征或规律，从而提高他们的概括能力和语言运用能力，养成会动手、善表达，肯动脑、有条理的良好的学习习惯.七、教学过程预设：
回顾旧知，激活已有经验
问题1：
1.二次函数的一般形式是什么？你能举出一些二次函数的例子吗？
2. 学习完二次函数概念后，类比一次函数 的研究过程，今天我们需要研究什么？
3.我们是如何研究一次函数的图象和性质的？
引导学生回顾研究函数的一般过程，以及一次函数的研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，如位置、形状，函数随自变量的增大如何变化.经历从特殊到一般的探究过程，先研究特殊的一次函数——正比例函数y=kx的图象和性质，再研究一般的一次函数y=kx+b的图象和性质；在这个过程中，分k>0,k<0两种情况讨论，由k取具体的数字入手，最后归纳出一般情况.
在学生回顾的过程中，教师适时进行归纳总结，并进行板书.
追问：你觉得我们今天先研究什么函数的图象性质？（板书：21.2.1二次函数y=ax 的图象和性质 ）
【设计意图】通过这三个问题为今天的研究搭建框架，虽然二次函数与一次函数研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般.复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫.
（二）类比探究二次函数y=ax 的图象和性质
问题2：类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？
师生活动：（1）学生独立用描点法画出y=x 的图象，此时教师关注学生是否选取适当的自变量的值，描点连线，（追问：不知道0-1之间的图象到底是折线还是曲线怎么办？加密点来画图）展示几何画板中加密点的函数图象.
（2）概括特征.尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述y=x 的图象特征.
板书：抛物线、顶点定义，图象的形状、开口方向、对称性、顶点，强调顶点是抛物线的最高点或最低点.
（3）从图象上看函数y=x 随自变量的增大如何变化.
【设计意图】在师生对话中引导学生在已有的知识经验中建构新的概念，概括观察的角度和方法，尝试类比探究特殊的二次函数y=x 的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念.
小组合作：
问题3：在同一直角坐标系中画出y=2x ， 的图象，函数y=2x ， 的图象与函数y=x 的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？
追问：这些共同点是由什么因素引起的？这些不同点是由什么因素引起的？
请归纳：当a>0时，二次函数y=ax 的图象有什么特点？
得出：
二次函数y＝ax2(a>0)
图象的形状 图像的特点 函数的性质
y＝ax2(a>0) 1. 向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数
2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可得到相同的函数y
3. 在y轴左侧是下降的， 在y轴右侧是上升的 当x<0时，函数y随x的增大而减小; 当x>0时，函数y随x的增大而增大
4. 顶点就是原点（0,0）， 顶点是图象的最低点.开口向上，图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最小值，y最小值=0，且y没有最大值，即y≥0
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=ax （a>0）的图象特征，再次感受数缺形时少直观，形少数时难入微，体会数形结合的数学思想.
合作探究
问题4：类比a>0时的研究过程，二次函数y=ax2（a<0）的图象有什么特征？
有了问题3的经验，学生应该能够有意识的从特殊到一般的将a赋值研究，若有个别学生做不到，则追问：你打算怎么研究？我们刚才是怎么研究a>0时的情况？用了什么方法？研究了哪些内容？帮助学生梳理思路.
在同一坐标系下画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
填表：课本第9页表格
在开口大小的归纳中，学生通过展示几何画板在a在-3到3之间的动态图象直观的感受到a的取值对函数图象的影响，进而总结出a的绝对值越大张口越小.
追问：对比抛物线y=x 和y=-x 它们的图象有什么关系？一般地，抛物线y=ax 和y=-ax 呢？
【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数
y=ax （a<0）的图象特征.
问题5：你能说出二次函数y=ax 的图象特征和性质吗？
师生共同归纳：
y＝ax2 a>0 a<0
图象
开口 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越小
对称性 关于y轴对称
顶点 顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点 顶点是最高点
增减性 y轴左侧 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
y轴右侧 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
二次函数y=ax2的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 的图象可以简称抛物线y = ax2
【设计意图】概念的形成要注重引导学生感悟，学生是学习的中心和主体，教师要为学生创造用多样化的学习方式学习的机会给学生自主建构、自我完善的机会.
（三）及时巩固，素养提升
(1)抛物线 y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
【设计意图】通过问题正面强化、有效练习深化概念的理解和掌握，避免了对概念的简单、机械的记忆.
（四）回顾梳理，归纳小结，学法指导：
我们一起回顾今天的学习历程：
（五）布置作业
必做题：练习1、2、3
选做题：练习4、5
八、板书设计：
形状 位置 顶点坐标 对称性 增减性 21.2 .1 二次函数y=ax 的图象和性质 探究： 练习
九、教学设计理念：
本节课从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.
教后反思：
本节课在设计理念上一直比较注重从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.这一点是比较好的，但从实际操作上看，一方面由于学生的基础不是很强，未能对一次函数的图象性质研究有深刻的认识，所以不能够灵活的运用于二次函数的图象和性质的研究上，另一方面也是因为我过于注重放手让学生自己去利用知识的迁移，设置的问题有点大，让学生感觉无法回答，所以总感觉课堂气氛有些沉闷.如果在课堂中能够把问题细化些，小步骤的去引导学生思考，操作，课堂效果可能会更好一些.在二次函数的图象为什么是光滑的曲线的处理上，我采用几何画板加密点的形式展示给学生看，这种让学生先思考再直观的感受的做法是可取的，达到了预期的效果，同时在开口大小的归纳中，学生通过几何画板在a在-3到3之间的动态图象直观的感受到a的取值对函数图象的影响，进而总结出a的绝对值越大张口越小，这一点也是可取的 ，以后仍要坚持这种先让学生独立思考再借助教学技术辅助的做法.
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