2021-2022学年北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试（Word版含答案）

图形的相似
一、单选题
1．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
3．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
4．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．16 B．14 C．16或14 D．16或9
6．如图，中，于D，下列条件，①；②；③；④．其中一定能够判定是直角三角形的有（ ）种．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．54
8．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
9．下列比例式中，不能由得到的比例式是
A． B． C． D．
10．若的每条边长增加各自的得,则的度数与其对应角的度数相比（ ）
A．增加了 B．减少了 C．增加了 D．没有改变
11．如图，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
12．下面四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．3，6，2，4 B．1，，，， C．4，6，5，10 D．2，，，
13．如图，路灯距地面 ，身高 的小明从点 处沿 所在的直线行走 到点 时，人影长度
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
14．如图，交于点D，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，于点D，有下列条件：①；②；③；④；⑤，其中一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．在中，，，点在边上，且，点在边上，当______时，以、、为顶点的三角形与相似．
17．如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别为边AB、AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是_________．
18．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为________.
19．在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为_________．
20．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=______．
三、解答题
21．（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长．
（2）已知，且，求a的值．
22．如图，在中，，D，E分别是和上的点，．请找出中相等的角．
23．如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和B，使得B，A，P在一条直线上，且与河岸垂直．随后确定点C，D，使，由观测可以确定与的交点D．他们测得，从而确定河宽．你认为他们的结论对吗？还有其他测量方法吗？
24．如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，求．
25．如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，求的长．
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参考答案：
1．C
解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
2．B
解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
4．C
黄金分割定义知，,所以AC2=AB.
设AB=1，AC=x,
,
解得：x=. 选C.
5．D
试题分析：本题分两种情况：
①△ADE∽△ACB
∴，
∵AB=24，AC=18，AD=12，
∴AE=16；
②△ADE∽△ABC
∴，
∵AB=24，AC=18，AD=12，
∴AE=9．
故选D．
考点：相似三角形的性质．
6．B
解：①∠B+∠DAC=90°，
故该条件无法判定△ABC是直角三角形；
②∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，
故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
③，且∠ADC=∠BDA=90°，则△ADC∽△BDA，
∴∠CAD=∠ABD，
又∵∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴该条件可以判定△ABC是直角三角形；
④∵AB2=BD BC，
∴
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选：B．
7．C
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1
∵△ABC的周长为18
∴△DEF的周长为6．
故选：C．
8．B
因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形是直角三角形，
故选B．
9．C
A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，故本选项不符合题意；
C、由得，，故本选项符合题意；
D、由得，，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．D
∵△ABC的每条边长增加各自的10%得，
∴△ABC与的三边对应成比例，
∴△ABC∽△
∴∠=∠B.
故选D.
11．C
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，
所以，△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA，△ADF∽△EBA，
共3对．
故选C．
12．C
A. 3：6=2：4 ，四条线段成比例，故不符合题意；
B. 1：=：，四条线段成比例，故不符合题意；
C. 4：6≠5：10，四条线段不成比例，故符合题意；
D. 2：=：，四条线段成比例，故不符合题意，
故选C.
13．C
解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，在B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x＝，y＝-3.5，
∴x y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选C．
14．A
∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴，
又∵AD:DE=3:5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴,即 .
∴DC=.
故选A.
15．C
①∠1=∠A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∵∠1=∠A，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
②正确，
理由是：∵ ,∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠1，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形；
③错误，
理由是：∵∠BDC=90°，
∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2,不能推出∠1+∠2=90°，
∴③错误；
④正确
∵BC:AC:AB=3:4:5，
∴设BC=3k，AC=4k，AB=5k，
则BC+AC=25k,AB=25k，
即BC +AC=AB，
∴∠ACB=90°，即④正确；
⑤错误；
∵AC BD=BC CD，
∴ ，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
无法得到△ACB是直角三角形，∴⑤错误；
正确的个数是3个.
故选C.
16．或
如解图①所示，
∵当时，
，
∴，解得；
如解图②所示，当时，
，
∴，
解得
故答案为：或．
17．∠DFB=∠ADE
解： AC＝3AD，AB＝3AE，∠A=∠A，
，
，
又，
．
故答案为．
18．5
解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=5．
故答案为：5
19．16米
解：设该建筑物的高为米，
则
解得：
即建筑物的高度为16米
故答案为：16
20．4或6
如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故，
则，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴，
即，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
21．（1）；（2）．
解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴，
即，
∴a=1cm；
（2）设，则，
∵，
∴，解得，
∴．
22．．
解：，，，，
，，
，，
，
又∵，
，
，．
23．结论对，理由见解析；有其他测量方法，见解析．
解：∵BC⊥BP，AD⊥BP，
∴ADBC，
∴△PAD∽△PBC，
∴ ，即 ，
解得：PA＝90．
∴他们的结论对．
其他测量方法：如图，
在河对岸取一点A，在人所在这一侧的河岸上选B、C两点，使得AB垂直河岸，过点C作河岸的垂线段CE，从点E处观察点A，使A、E在一条直线上，且这条直线与河岸交于点D，测出BD、DC、EC的长度，然后利用相似三角形的性质求解．
24．．
解：∵ACDE，
∴△PBC∽△RBE，
∴，
∴BP＝PR，
又∵△PCQ∽△RDQ，
∴，
∴QR＝2PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2．
25．．
解：过点O作OMAB，交BC于点M，
四边形ABCD是平行四边形
，
．
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