2021-2022学年安徽省芜湖市市区九年级（上）月考数学试卷（12月份）（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省芜湖市市区九年级第一学期月考数学试卷（12月份）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的.请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）答题栏
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，1，﹣3
3．在下列抛物线中，其顶点是（﹣2，4）的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣4
4．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　）
A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　）
A．36° B．44° C．54° D．56°
7．如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
8．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+6x+5 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2+8x+17
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
10．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（　　）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 　 　．
12．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB　 　2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　 　．
14．设二次函数y＝x2+2x﹣3的图象为C1，关于x的一次函数y＝kx+3k的图象为C2．
（1）C1和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为 　 　；
（2）若C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，则k的取值范围为 　 　．
三、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
15．解方程：x2﹣3x+2＝0．
16．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．点A，B，C，O都在格点上．
（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）在图中画出△ABC的外心P，请保留必要的作图痕迹．
四、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．因国家对新能源的支持以及各种利好因素的影响，某新能源企业的利润逐年提高，据统计，该企业2018年的利润为3亿元，2020年的利润为4.32亿元．
（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率；
（2）若保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过5亿元？
18．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（Ⅰ）求∠ODC的度数；
（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．
五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分）
19．如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
20．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为 　 　（直接写出结果）；
（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为 　 　（直接写出结果）；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且满足m＜，试比较y1与y2的大小，并说明理由．
六、（本题满分12分）
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．
七、（本题满分12分）
22．某饰品店以20元/件的价格采购了一批今年新上市的饰品进行了为期30天的销售，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P＝﹣2x+80（1≤x≤30）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1＝x+30（1≤x≤20），后10天的销售价格Q2则稳定在45元/件．
（1）试分别写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的销售期中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润值．
（注：销售利润＝销售收入﹣购进成本）
八、（本题满分14分）
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的.请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）答题栏
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，1，﹣3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
解：∵2x2+x＝3，
∴2x2+x﹣3＝0，
∴方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，﹣3，
故选：D．
3．在下列抛物线中，其顶点是（﹣2，4）的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣4
【分析】根据各个选项中的函数解析式可以直接写出它们的顶点坐标，从而可以解答本题．
解：y＝（x+2）2﹣4的顶点坐标是（﹣2，﹣4），故选项A不符合题意；
y＝（x﹣2）2+4的顶点坐标是（2，4），故选项B不符合题意；
y＝（x+2）2+4的顶点坐标是（﹣2，4），故选项C符合题意；
y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是（2，﹣4），故选项D不符合题意．
故选：C．
4．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　）
A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD
【分析】由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解．
解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，
∴旋转角为∠BAD或∠CAE，
故选：A．
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d．
则d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上；
当d＜r时，点在圆内．
解：根据勾股定理求得斜边AB＝＝2，
则AD＝，
∵＞2，
∴点在圆外．
故选：A．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　）
A．36° B．44° C．54° D．56°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝36°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
故选：C．
7．如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【分析】连接OP、OB，根据切线长定理得到∠OPB＝30°，根据切线的性质得到OB⊥PB，根据正切的定义计算即可．
解：连接OP、OB，
∵PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，
∴∠OPB＝30°，OB⊥PB，
∴PB＝＝＝2，
故选：C．
8．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+6x+5 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2+8x+17
【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案．
解：A、y＝x2﹣1，先向上平移1个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位可以得到y＝x2+1，故A符合题意；
B、y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，右移3个单位，再上移5得到y＝x2+1，故B不符合题意；
C、y＝x2+4x+4＝（x+2）2，先向右平移2个单位得到y＝（x+2﹣2）2＝x2，再向上平移1个单位得到y＝x2+1，故C符合题意；
D、y＝x2+8x+17＝（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y＝（x+4﹣2）2+1，再向右平移2个单位得到y＝（x+4﹣2﹣2）2+1＝x2+1，故D符合题意．
故选：B．
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，即﹣＝2，解得b＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣4x+c，再利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4，然后把A点坐标代入解析式得到n的值．
解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+c
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
把A（1，n）代入得n＝1﹣4+4＝1．
故选：C．
10．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（　　）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【分析】如图，连接OA，OC．证明△HOC≌△GOA（ASA），可得结论．
解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣1　．
【分析】根据翻折的性质得到新图象顶点坐标，然后写出函数解析式．
解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1），则沿x轴翻折后顶点坐标是（0，﹣1），所以新抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1．
12．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB　＝　2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得到AE＝BE，由等腰三角形的性质得到∴∠AOE＝∠AOB，由已知条件得到∠AOC＝∠AOB，进而得到∠AOE＝∠AOD，根据全等三角形判定证得△AOE≌△AOD，继而得到AB＝2AE．
解：过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴∠AOE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠AOB，
∵，
∴∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOE＝∠AOD，
在△AOE和△AOD中，
，
∴△AOE≌△AOD（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB＝2AE，
故答案为：＝．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　2﹣2　．
【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．
解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE′＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝＝＝2，
则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
14．设二次函数y＝x2+2x﹣3的图象为C1，关于x的一次函数y＝kx+3k的图象为C2．
（1）C1和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为 　（﹣3，0）　；
（2）若C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，则k的取值范围为 　k＜0且k≠﹣4　．
【分析】（1）证得二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣3，0）和 （1，0），图象C2经过定点（﹣3，0），即可得到结论；
（2）根据C1和C2有两个不同的交点，利用根的判别式即可求得k≠﹣4，根据题意结合（1）的结论一个交点是（﹣3，0），另一个在x轴的下方，即可得到k＜0且k≠﹣4．
解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴图象C1与x轴的交点为（﹣3，0）和 （1，0），
∵y＝kx+3k＝k（x+3），
∴图象C2经过定点（﹣3，0），
∴定点P的坐标为（﹣3，0）；
故答案为：（﹣3，0）；
（2）∵C1和C2有两个不同的交点，
∴x2+2x﹣3＝kx+3k整理得x2+（2﹣k）x﹣3﹣3k＝0中，Δ＞0，
∴（2﹣k）2﹣4（﹣3﹣3k）＞0，即（k+4）2＞0，
∴k≠﹣4，
∵C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，
∴一个交点是（﹣3，0），另一个在x轴的下方，
∴一次函数y＝kx+3k的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0且k≠﹣4，
故答案为：k＜0且k≠﹣4．
三、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
15．解方程：x2﹣3x+2＝0．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．
解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
16．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．点A，B，C，O都在格点上．
（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）在图中画出△ABC的外心P，请保留必要的作图痕迹．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转90°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用网格分别作BC，AB的垂直平分线交于点P即可．
解：（1）如图所示；
（2）利用网格分别作BC，AB的垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心．
四、（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．因国家对新能源的支持以及各种利好因素的影响，某新能源企业的利润逐年提高，据统计，该企业2018年的利润为3亿元，2020年的利润为4.32亿元．
（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率；
（2）若保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过5亿元？
【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据题意列出算式，比较即可．
解：（1）设该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为x．
根据题意得3（1+x）2＝4.32．
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%．
（2）如果仍保持相同的年平均增长率，
那么该企业的2021年的利润为4.32（1+20%）＝5.184＞5．
答：该企业2021年的利润能超过5亿元．
18．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（Ⅰ）求∠ODC的度数；
（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．
【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（Ⅱ）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长，再在直角△AOD中利用三角函数的定义即可求解．
解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC＝60°；
（Ⅱ）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝3，
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．
五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分）
19．如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，如图，则DE＝BE，利用双勾股得到AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，即42﹣（BE﹣2）2＝52﹣BE2，解方程得到BE＝，然后计算BD﹣BC即可．
解：过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，如图，则DE＝BE，
在Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2，
∴AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
即42﹣（BE﹣2）2＝52﹣BE2，
解得BE＝，
∴CD＝BD﹣BC＝2BE﹣2＝2×﹣2＝．
答：CD的长为．
20．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为 　﹣24≤y≤1　（直接写出结果）；
（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为 　﹣1≤x≤0或4≤x≤5　（直接写出结果）；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且满足m＜，试比较y1与y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）求出x＝﹣3和3时y的值，和顶点纵坐标比较可得到答案；
（2）求出y＝﹣8和﹣3时x的值，结合图象可得到答案；
（3）利用y1、y2作差可得答案．
解：（1）y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝﹣3时，y＝﹣24，
当x＝3时，y＝0，
故答案为：﹣24≤y≤1；
（2）﹣x2+4x﹣3＝﹣8时，x＝﹣1或5，
﹣x2+4x﹣3＝﹣3时，x＝0或4，
由图像可得若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，
故答案为：﹣1≤x≤0或4≤x≤5；
（3）由题意，y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3，
则y1﹣y2＝2m﹣3，
又m＜，
∴2m﹣3＜0，即y1＜y2．
六、（本题满分12分）
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，∠ABC+∠COD＝180°，再根据等角的补角线段得到∠AOD＝∠ABC，然后根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出在AB＝10，再利用切线长定理得到BD＝BC＝6，所以AD＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，利用勾股定理得到r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，连接OB交CD于H，如图，则OB垂直平分CD，然后利用面积法可计算出CH，从而得到CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∵∠AOD＝2∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABC；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∵OC⊥CB，
∴BC为切线，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，
∴OC＝3，
连接OB交CD于H，如图，
∵OC＝OD，BC＝BD，
∴OB垂直平分CD，
在Rt△OCB中，OB＝＝3，
∵OB CH＝OC BC，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝．
七、（本题满分12分）
22．某饰品店以20元/件的价格采购了一批今年新上市的饰品进行了为期30天的销售，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P＝﹣2x+80（1≤x≤30）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1＝x+30（1≤x≤20），后10天的销售价格Q2则稳定在45元/件．
（1）试分别写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的销售期中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润值．
（注：销售利润＝销售收入﹣购进成本）
【分析】（1）根据题意可以分表示出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）有第一问中的函数关系式可以分别求出在各自范围内的最大值，然后进行比较即可解答本题．
解：（1）由题意可得，
R1＝P（Q1﹣20）＝（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]＝﹣x2+20x+800，
R2＝P（Q2﹣20）＝（﹣2x+80）（45﹣20）＝﹣50x+2000，
即该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式分别是：；
（2）∵当1≤x≤20时，R1＝﹣（x﹣10）2+900，
∴当x＝10时，R1的最大值为900，
当21≤x≤30时，R2＝﹣50x+2000，
∵R2的值随x值的增大而减小，∴当x＝21时，R2的最大值是950，
∵950＞900，
∴在第21天时，日销售利润最大，最大利润为950元．
八、（本题满分14分）
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求二次函数解析式，再将A（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b1，即可求直线AC的解析式；
（2）分两种情况讨论：①当P点与B点重合时，B点即为P点；②过B点作BP∥AC交抛物线于点P，点P即为所求点；
（3）抛物线的对称轴与直线AC解析式y＝﹣x+3的交点M（1，2），即为Q点；当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0，过A1作直线DQ的垂线于E点，可得△ADQ≌△QEA1（AAS），进而求出A1（1﹣m，m﹣2），再由点A1恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，求出满足条件的Q点坐标．
解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点为（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）存在，理由如下：
①当P点与B点重合时，此时DP＝DA，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∴P（﹣1，0）；
②过B点作BP∥AC交抛物线于点P，
∵AB＝2AD，
∴△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
∴直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立方程组，
解得x＝﹣1，y＝0或x＝4，y＝﹣5，
∴P（4，﹣5）；
综上所述：点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴直线AC解析式y＝﹣x+3与对称轴的交点M（1，2），如图所示，
∴BD＝2，DM＝2，DA＝2，
∴∠MBD＝∠MAD＝45°，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴M点即Q点，
∴Q（1，2）；
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0，
∵线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，
∵∠DQA+∠DAQ＝90°，∠DQA+∠EQA1＝90°，
∴∠EQA1＝∠DAQ，
∵∠ADQ＝∠QEA＝90°，AQ＝A1Q，
∴△ADQ≌△QEA1（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝EA1＝﹣m，
∴A1（1﹣m，m﹣2），
∵点A1恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴m﹣2＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3，
解得m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q（1，﹣3），
综上所述：Q点坐标为（1，2）或（1，﹣3）．