3.1.1函数的概念（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教材地位
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.
1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.
2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.
3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.
二、学情分析
1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．
2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.
3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.
三、教学目标
1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）
2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识 .（难点）
3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.
四、教学重点
用集合语言和对应关系刻画函数的概念.
五、教学难点
对函数概念的理解.
六、教学过程
1.函数概念的形成
1.1创设情境，引发思考
思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x，则其周长l= ；
【预设答案】（1）4（2）8（3）4x
【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.
思考2：初中学习的函数的概念是什么？
【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.
【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.
思考3：请同学们考虑以下两个问题
【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.
1.2探究典例，形成概念
问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t.
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？
【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t，其中 .
问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中
.
思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.
问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
【预设答案】是，t的变化范围是，I的范围是.
问题4： 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？
【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系
不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格
【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.
函数概念：一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
常见函数的三要素：
正比例函数：的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数.
一次函数：的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数.
二次函数：的定义域是R，值域是B.当a>0时，；当a<0时，.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
反比例函数：的定义域为，对应关系为“倒数的k倍”，值域为.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集中的任意一个x值，按照对应关系f：“倒数倍”，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么此时f：就是集合A到集合B的一个函数，记作
2.例题讲解，理解概念
例1.判断下列对应是否是函数
【预设答案】（1）是（2）是（3）不是
【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.
例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
【预设答案】D
【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字
例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？
【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.
3.课堂练习，巩固新知
练习1.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】B
练习2.已知函数，分别由下表给出．
x 4 5 6
1 3 1
x 1 2 3
4 5 4
则 ； ．
【答案】4 3
练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？
如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？
【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}
4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=来描述.
【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=，其中x的取值范围是A={x|04.课堂小结，思想升华
本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.
53.1.1 函数的概念（第2课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1、理解区间的概念，“开”、“闭”的含义，及“∞”、“+∞”、“-∞”的读法与含义，掌握满足相应不等式条件的实数x的集合与区间之间的相互转化.
2、了解构成函数的要素，能够正确说出函数的三要素，会求一些简单函数的定义域.
3、会判断两个函数是否为同一函数，理解定义域对函数的限定性作用.
二、教学重难点
1、函数定义域的求法。
2、如何判断两个函数为同一函数.
三、教学过程
（一）区间概念的引入
问题1：由上节课的学习我们知道，函数的三要素为定义域、对应关系和值域，定义域和值域都是非空数集.在数学中有没有刻画非空数集的简单方式呢？请大家阅读教科书第64页相关内容.
（1）什么叫闭区间？什么叫开区间？什么叫半开半闭区间？
（2）区间的端点应满足什么条件？0
（3）请用区间表示实数集R。书写带有“+∞”、“-∞”的区间时，应使用小括号还是中括号？
师生活动：教师先让学生阅读并独立思考，尝试理解有关概念和相应记法，然后提出上述3个问题，检验学生自主阅读和理解能力，并提醒学生先不要看教科书第65页.
学生对问题（3）中的“无穷大”可能会有理解上的困难，教师可着重强调，“+∞”、“-∞”都只是数学符号，不是一个数，是实数x取不到的，所以一定要用小括号表示.
设计意图：问题（1）是强化概念名称，明确区间的分类；问题（2）是强调区间左、右端点的大小关系，明确区间一定是“非空”的实数集，如此利用区间研究函数才更严谨；问题（3）是为了阐述“无穷大”的含义，解释带有“无穷大”的区间端点一定要用小括号的原因，降低学生的运用难度，达到“区间是研究函数的工具”的目的.
设计意图：问题（1）是引导学生思考给定解析式后，求定义域的原则；并通过具体实例进行操作，熟悉求解过程；熟练具体区间的书写，并明确区间的交并运算符号与集合完全一致（因为区间是集合的一种特殊形式）.
师生活动：教师用PPT或其他方式呈现问题3，给学生适当时间计算，然后找同学公布答案，必要时给予适当修正.
追问：通过问题2和问题3，你能总结函数定义域的常用求法吗？
给学生适当时间思考，然后提问一名同学，视情况找其他同学补充，最终达成共识：
①负数不能开平方（基础稍好的学生也可总结出：负数不能开偶次方）；
②分母不能为零；
③有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数定义域的交集.
设计意图：通过具体实例，进一步熟悉求函数定义域的过程，并总结函数定义域的常用求法，形成结论，训练抽象概括能力.
（三）两个函数是否为同一个函数的判断
问题4：我们知道，函数的三要素是：定义域、对应关系、值域，值域由定义域和对应关系决定；
（1）如果两个函数仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们是同一个函数吗？如果不是，你能举出反例吗？
函数 与它们的定义域和对应关系相同吗？这三个函数是同一个函数吗？
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数吗？
师生活动：教师依次出示问题（1）（2）（3），找学生代表回答，通过三个问题，逐步引导学生得出判断两个函数是否是同一个函数的条件.
设计意图：问题（1）是启发学生排除错误条件，举反例的过程，即学生积极思考并将知识内化的过程.如果学生能准确、恰当地举出反例，说明学生掌握了这个知识点.
问题（2）的关键是让学生发现对应关系本质上与字母的选取无关；这三个函数定义域显然相同，对应关系本质上也相同，它们是同一个函数.
通过问题（2）的具体实例的分析，可自然地想到问题（3），通过对问题（3）的思考，即可归纳出判断两个函数是否为同一个函数的条件.
问题5：下列函数中哪个与函数 是同一个函数？
师生活动：教师出示问题后，给学生充分思考、计算的时间，期间可巡视学生作答情况，有条件的学校也可将典型作答直接投射到多媒体上，与学生讨论，最终获得正确结论.
也可利用信息技术画出这四个函数图象，根据图象进行判断，验证之前的结论.
设计意图：通过具体实例，训练学生能否掌握判断两个函数是否为同一个函数的方法，其中涉及函数定义域的求解，以及对通过解析式表示的对应关系的本质认识.在学生自主解题的过程中，一定会有学生先化简解析式，再求定义域；也有学生弄不清先求定义域还是先化简解析式.在此教师需要强调：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，所以求函数定义域的基本原则是解析式不化简.在此，要让学生养成“研究函数，先看定义域”的良好习惯.
利用信息技术，可以让学生更直观的感受四个函数的对应关系，从数与形的角度多方面分析问题，加深对问题的理解，体现信息技术手段的作用.
问题6：出示教科书第67页练习第1题~第3题.
师生活动：让学生独立完成，之后教师对学生的练习进行点评.
设计意图：巩固训练，夯实基础，加深印象.
（四）课堂小结、布置作业
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：
（1）什么是区间？区间可分为哪几类？
（2）如何求函数的定义域？
（3）如何判断两个函数是否为同一个函数？
（4）至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号y=f（x） 明确了函数的构成要素.比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？
师生活动：问题（1）、（2）、（3）直接找学生代表回答，问题（4）可先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结：
这两种定义在实质上是一致的，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，高中给出的定义是从集合、对应的观点出发.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式；后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，所以用集合与对应观点来解释，更具有一般性.
设计意图：问题（1）、（2）、（3）是对本节内容的串联，回忆知识，加深印象；问题（4）的目的是让学生通过对初中、高中的函数定义进行比较，理解引入新定义的必要性，提升对函数的认识.
布置作业：教科书习题3.1第2，4题.
