3.1.2函数的表示法（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；
2.了解分段函数，并能简单应用；
3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.
二、教学重难点
1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；
2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.
三、教学过程
1.对函数表示方法的认知
1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法
【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数表示法
问题1 解析法
问题2 解析法
问题3 图3.1-1 图象法
问题4 表3.1-1 列表法
问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？
【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.
【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.
【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.
问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
（2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.
【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.
【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.
使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.
1.2归纳提炼，形成共识
在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：
（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.
缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式.
中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数.
（2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.
优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.
缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.
（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 .
缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便.
【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识.
2.初步应用，理解概念
例1某种笔记本的单价是0.5元，买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.
【预设的答案】这个函数的定义域是
解析式法：
列表法
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
图象法
【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.
（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线 ，也可以是离散的点等.
例2 画出函数的图象 .
【预设的答案】由绝对值的概念，我们有，所以函数的图象如图所示
问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？
【设计意图】
（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性.
（2）学生已经熟知所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程.
教师讲授：（1）是一个函数，对于定义域内的任意一个，都有唯一确定的函数值与之对应.
（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.
分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.
例3 给定函数.
（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象；
（2），用表示中的较大者，记为.例如，当时， .请分别用图象法和解析法表示函数.
【预设的答案】
（1）在同一直角坐标系中画出函数的图象
（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数的图象
由，得，解得或
结合图象得出函数的解析式为
【设计意图】
（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.
（2）通过对这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力.
3.归纳小结，突出重点
（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；
（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.
（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷.
【设计意图】
（1）梳理本节课的学习内容；
（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 .
四、课外作业
1.画出函数的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）
2.给定函数
（1）画出函数的图象；
（2）用表示中的较小者，记为
请分别用图象法和解析法表示函数.
3.已知函数的图象如图所示，其中点的坐标分别为， 则＝( )
A．2 B．4
C．0 D．3
4．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
5．下表表示函数，则的整数解的集合是________．
4 6 8 10
53.1.2函数的表示法（第2课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
深圳市坪山高级中学 钟南林
一、教学目标
1. 明确函数的三种表示方法.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
二、教学重难点
1. 函数的三种表示方法，分段函数的概念.
2. 如何根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
三、教学过程
1.复习导入
1.1函数三种表示方法定义及优缺点
列表法 图像法 解析法
定 义 用表格的形式表示两个变量之间的对应关系 用图像表示两个变量之间的对应关系 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 直观形象的表示随着自变量的变化，相应函数值变化的趋势，研究函数性质 简明全面概括了变量的对应关系，可以通过解析式求出任意一个变量对应的函数值
缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式
1.2分段函数的定义及特点
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
【设计意图】在上节课的基础上进一步掌握比较函数三种不同表示方法的优缺点，为本节课在具体情境中选取何种函数的表示方法作铺垫，同时对分段函数的特点进一步深化，为在具体实例中应用分段函数做好准备。
2. 探究典例
例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表
问题1：上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
【预设的答案】4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}
【设计意图】让学生体会列表法不单单是表示一个函数，让学生体会列表法表示多个函数，进一步理解函数的定义.
问题2：上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？
【预设的答案】用解析法并不能很好的表示出对应的解析式，可以类似例题4用图像法表示。
【设计意图】在问题1的基础上继续追问，让学生进一步深化函数三种表示方法的优缺点.
问题3：若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？
【预设的答案】表格上并不能很好的看出每位同学的成绩变化情况，用图像法较好
【设计意图】让学生体会用表格区分三位同学的成绩变化并不直观，引导学生用图像法分别表示出三个同学的成绩和班级平均分对应的函数图像，让学生体会在实际需要中选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的.
问题4：试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析？
【预设的答案】王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升.
【活动预设】让学生动手将每个同学的成绩与测试序号之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来，学生分组讨论，能从图像上得出哪些结论，每组派代表进行发言，.
【设计意图】让学生动手做出每位同学成绩对应的散点图，让学生进一步理解函数定义域与值域的对应关系，并体会如何能更好的表示出每位同学成绩变化情况。（用虚线连接起来更好展示）
教师讲授：在实际的问题中，我们要根据函数三种不同的表示方法的优缺点，恰当的选择表示函数的方法，这样才能给我们研究函数及其性质带来方便.
例2 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－依法确定的其他扣除.其中“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表
（１）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y， 求y＝f（t），并画出图象；
（２）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1% ，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得税？
问题5：如果你家庭对应的年综合所得收入额为200000元，按照《中华人民共和国个人所得税法》这部分需要全部计税吗？
【预设的答案】家庭对应的年综合所得收入额与个人年综合所得收入额不一样，可能是多个成员共同的收入，需要按照个人来进行个人所得税的计税，就算是个人的年综合个人收入，也不是需要全部计税，应该先算出个人应纳税所得额。
【设计意图】增强学生公民意识，明确依法纳税是每个公民应尽的义务，明确个人综合所得年收入与个人应纳税所得额是两个不同的概念，且与家庭对应总收入是两个不同的概念。
问题6：小王全年综合所得收入额为189600元，那他个人全年应纳税所得额是多少，处于第几级，小王全年应该缴纳多少个税税额？
【预设的答案】个人应纳税所得额34320元，处于第一级，应该缴纳个人税税额1029.6元。
【设计意图】通过分步解决小王全年应该缴纳多少个税，让学生更加明确个人全年综合所得收入额并不是全部需要纳税的，让学生更加深刻理解个人应纳税所得额这个概念，以后作为一个社会公民要自觉主动进行个税申报。
活动：请学生举例不同的.个人全年应纳税所得额并计算出相应缴纳全年个人所得税税额，并得出应缴纳个税税额与年应纳税所得额之间的函数关系并画出图像
【活动要求】
第一组第四列学生说出.第二级个人全年应纳税所得额中的一个数值，由第二组第四列学生计算出应纳全年个人所得税税额，并说出过程。
第二组第四列学生说出.第三级个人全年应纳税所得额中的一个数值，由第三组第四列学生计算出应纳全年个人所得税税额，并说出过程。
第三组第四列学生说出.第四级个人全年应纳税所得额中的一个数值，由第四组第四列学生计算出应纳全年个人所得税税额，并说出过程。
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【活动预设】如果学生举例的数字不在对应组里面，教师提醒学生另外举例，如果计算上有问题及时纠正学生，找出规律后引导学生再次应用分段函数的概念提炼出函数模型，及时纠正分段函数表示格式有问题的学生，做出函数图像后引导学生得出函数图像体现出函数的简单性质。
【设计意图】
由不同的学生取出的不同级数个人全年应纳税所得额，利用不同的数据提炼出不同级数个人全年应纳税所得额与应纳个税之间的函数关系，让学生更加深刻的理解分段函数及分段函数模型在实际生活中的应用，并体会分段函数图像与分段函数之间的关系。
3.归纳小结，文化渗透
思考：例2中设小王的基本减除费用，专项扣除，专项附加扣除，依法确定的其他扣除不变，年综合所得收入额为x,个人应交个税为y,你能否得到他们之间的函数关系呢？
【设计意图】
（1）深化本节课对于函数的表示三种方法；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数在生活中应用.
四、课外作业
2
