3.2.1 单调性与最大（小）值（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1.理解函数的最大（小）值以及几何意义
2.会用图像和函数的单调性求解函数的最值
3.体会用数学的语言描述现象
4.经历将实际问题转化为数学模型
二、教学重难点
1.最大（小）值的定义及几何意义
2.求函数的最值
三、教学过程
1.对数概念的形成
1.1观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。
思考如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？
【预设的答案】
函数图象最高点的“数”的刻画：
我们用函数值刻画一个函数图象的最高点。如果一个点是最高点，那么该函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值.简称为最大值.就函数 f(x)=-x 而言，对函数定义域中任意的x，都有f(x)≤f(0)，即函数值 f(0) 是函数的最大值.
【设计意图】
带领学生探究函数定义的形成过程。
1.2最大（小）的定义
总结最大值的定义，学生独立思考最小值的定义。
最值 条件（I是函数f(x)的定义域） 几何意义
最大值 ①存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②对于任意x∈I，都有f(x)≤M 函数y＝f(x)图象上 最高点的纵坐标
最小值 ①存在x0∈I，使得f(x0)＝m ②对于任意x∈I，都有f(x)≥m 函数y＝f(x)图象上 最低点的纵坐标
【设计意图】
形成概念，加深理解
2.初步应用，理解概念
微判断
2.1.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.( )
2.2.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
【预设的答案】
1错，2对
微练习
2.3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )
A.－1 , 0 B.0 , 2
C.－1 , 2 D.1/2 ，2
2.4．设函数f(x)＝2x－1(x≤0)，则f(x)( A )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
【设计意图】
加深学生对概念易错点的理解
3.例题讲解，深入应用
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：m) 与时间t(单位：s)之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1 m)？
【预设的答案】
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度.根据二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有：
当 时，函数有最大值
(或者h(t)=-4.9×(1.5)2+14.7×1.5+18≈29)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.
变式：求下列函数的最值
(1)f(x)=x2-2x (2)f(x)=x2-2x(x∈[-1,2] ) (3)f(x)=x2-2x(x∈[0,3] ) (4)f(x)=x2-2x(x∈[-2,0] )
规律总结：定轴定区间的二次函数的最值问题
（1）解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．
（2）常用结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
例5.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。
【分析】
方法一：这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2,6]上单调递减，因此这个函数在定义的左端点上取得最大值，右端点取最小值.
方法二：结合图像找到最大，最小值。
【预设的答案】
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1所以，函数是区间[2,6]上单调递减.
因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.
【设计意图】
通过例题进一步让学生理解概念，并会能利用图像或单调性求最值。
4.能力提升
4.1求函数 f(x)=x2-2x+3 在区间 [t，t＋1] 上的最小值g(t)．
解：①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t+3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2+2，
综上得g(t)＝
4.2已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
解： 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
4.3已知定义在区间函数 f(x)=x+ ,求f(x)的最值.
【预设的答案】
解： 由上一节课例3可知，函数 f(x)=x+ 在区间上单调递增。
但是 f(x) 定义域取不到左端点，无右端点，所以函数 f(x) 无最大值，也无最小值。
规律小结：函数的最值与单调性
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.
(4)如果函数定义域为区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
【设计意图】
促进学生深入思考
5.归纳小结
5.1最大、最小值的定义
5.2常用的求函数最值的方法
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
四、课外作业
23.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；
2.会用定义简单证明函数的单调性；
3.通过函数的单调性可以画出函数图像;
4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.
二、教学重难点
1.函数的单调性精确定义;
2.利用函数定义判断函数单调性.
三、教学过程
1.研究函数单调性的过程
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢 比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值 总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.
2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!
下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.
全国现有确诊趋势 本土新增确诊趋势
问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征 你觉得他们反映了函数哪方面的性质
【预设的答案】 第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.
【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.
问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在上所有点变化趋势也是这样的吗 也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.
【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题 (让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要时,都有.（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下）
【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.
1.2探究典例，形成概念
活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.
【活动预设】当时,都有,这时我们就说函数 在区间上是单调递增的
【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.
问题3：通过上述例子给出函数在区间D上单调性的符号表述.
【活动预设】
一般的,设函数的定义域为区间
如果,当时，都有称函数在区间上单调递增.
如果,当时，都有称函数在区间上单调递减.
活动2：请同学们判断下列命题知否正确
设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且当时,都有,我们能说函数在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？
如果,当时，都有称函数在区间上单调递增.这种说法正确吗？
如果, 都有称函数在区间上单调递增.这种说法正确吗？
函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？
【活动预设】
（1）第一问构造了函数,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.
(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.
【设计意图】
（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；
（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.
2.初步应用，理解概念
例1 根据定义证明函数区间上是单调递减的.
【预设的答案】略
【设计意图】
（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像
（2）单调区间不能并.
练1 根据定义证明函数区间上单调递增.
【预设的答案】略
【设计意图】
（1）让学生自己动手练习；
（2）进一步熟悉定义.
例2 根据定义,研究的单调性.
【预设的答案】略
【设计意图】
体会如何求解含参函数的单调性.
3.归纳小结，文化渗透
1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？
2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？
3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？
【设计意图】
（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.
四、课外作业
2
