人教A版（2019）必修 第一册 3.2探究与发现（双勾函数）教学设计

3.3 探究函数的图象与性质
(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1.能作出函数的图象
2.掌握函数的图象与性质
二、教学重难点
1.函数的图象与性质的探究过程
三、教学过程
1.1函数的引入
我们知道函数和都是幂函数，不同的函数通过加减乘除等运算可以构成新的函数，那么将这两个函数“相加”构成的函数有哪些性质呢？
1.2问题探究，形成规律
问题1 你认为可以从哪些方面研究函数？
【预设的答案】定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、图象
【设计意图】研究一个函数应该研究什么？即研究一个函数应该从哪些方面入手.
问题2 你认为按照怎么的顺序去研究函数比较合适？
【预设的答案】应该先研究定义域、接着研究奇偶性、单调性、最值、值域、图象
【设计意图】应该先研究定义域，定义域优先原则，研究奇偶性可以事半功倍，研究单调性可以了解函数的增减趋势，为画图做好了准备，再结合最值、值域等可以画出函数的草图。
问题2.1 请写出函数的定义域，并判断函数奇偶性
【预设的答案】定义域为，为奇函数。
【设计意图】证明函数的奇偶性，要注意两步走应该先求定义域，看其是不是关于原点对称，接着求，若，则为奇函数；若，则为偶函数.
问题2.2求函数的单调区间？
【预设的答案】且
当时，
所以即且均有，所以函数的单调递减区间为；
当时，
所以即且均有所以函数的单调递增区间为；
综上函数的单调递减区间为；单调递增区间为.
【设计意图】考察学生用定义法证明单调性的过程，注意过程的规范性.
追问 你能写出函数的单调区间？
【预设的答案】由问题2.2以及函数奇偶性可知函数的单调递减区间为；单调递增区间为
【设计意图】体现出研究函数奇偶性的必要性，这样可以事半功倍.
问题2.3 求函数的最值
【预设的答案】当且仅当x=1时，函数最小值为2，无最大值.
【设计意图】考察学生利用基本不等式求最值的能力,利用基本不等式求最值，需要注意“一正，二定，三相等”.
追问 求函数的最值
【预设的答案】法1：当且仅当x=-1时，函数最大值为-2，无最小值.
法2：由问题2.3再结合函数奇偶性，可知当且仅当x=-1时，函数最大值为-2，无最小值.
【设计意图】一方面可以通过奇偶性（中心对称）得到，另一方面可通过基本不等式得到，仍然需要注意“一正，二定，三相等”.
问题2.4 根据前面问题的研究，你能试着画出的图象吗？
【预设的答案】由问题2.2可知函数在单调递减，在单调递增，且当x=1时函数最大值为2，当时，当时,,所以函数的渐近线为和
【设计意图】考察学生的画图能力，需要注意特殊点，特殊位置，以及渐近线.
问题2.5 你能试着画出的图象吗？
【预设的答案】由问题2.4可画出函数图象又因为函数为奇函数，由对称性可知函数的图象为
【设计意图】再次体现出研究奇偶性的必要性“事半功倍”
追问 函数的图象像什么？能不能给它起个名字？
【预设的答案】像个对勾，“耐克”
【设计意图】用通俗易懂的名字给该函数命名，比如“双勾函数”“对勾函数”“耐克函数”加深学生的印象.
问题3 你能利用函数和的图象变化趋势说明一下函数的图象变化趋势吗？
【预设的答案】函数在均匀增长，而函数虽然也在递减但是在递减较快，在递减较慢，而函数和的通过叠加可得到函数图象，所以函数在递减，在递增，在结合三者在同一坐标系的图象可以更直观体现出这种关系.
【设计意图】函数和的与函数的联系.
1.3总结规律
问题4 通过对函数的图象与性质的研究，你有哪些体会？
【预设的答案】函数的三要素以及函数性质与图象是研究函数的主要方向，但是需要遵循一定的研究顺序，这样可以事半功倍，先确定函数的定义域，接着奇偶性，其次单调性最值，图象.
【设计意图】总结研究过程，形成经验.
1.4应用规律
问题5 你能试着研究函数的图象与性质吗？函数呢？请补充下列表格
函数
图象
定义域
值域
性质 奇偶性
单调性
最值
【预设的答案】
函数
图象
定义域
值域
性质 奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数
单调性 单调递减区间： 单调递增区间： 无单调递减区间 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间：
最值 当时，当且仅当函数的最小值为2，无最大值； 当时，当且仅当函数的最大值为，无最小值 无最值 当时，当且仅当函数的最小值为，无最大值； 当时，当且仅当函数的最大值为，无最小值
【设计意图】应用探究所形成的经验，解决问题.
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