2021-2022学年人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线与圆的位置关系 同步练习 （Word版含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线与圆的位置关系 同步练习
一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．在同圆中，同弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直线垂直于弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点，均在上，直线与相切于点，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，在中，点是的内心，连接，，过点作分别交、于点、，若，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
6．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
7．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤1 B．－≤x≤ C．0x≤ D．0x≤1
8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线 D．若，则AC是⊙O的切线
9．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到，点在直线AC上，若BC＝1，则点C和外心之间的距离是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2﹣ D．
10．如图，的半径为1，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（ ）
A． B． C．6 D．3
二、填空题
11．两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，如果两圆内切，则的值是__________．
12．若半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点与的位置关系为点在_________（填“内”，“上”或“外”）
13．正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正三角形的面积为___．
14．如图，正方形的边长为6，为的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作，当圆与正方形的边相切时，的长为______．
15．如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”）
三、解答题
16．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．
（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
17．如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）连接，若，求的长．
18．如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．
19．如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为延长线上一点，且与交于点H，与交于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若直径的长为，求的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．
21．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
22．如图，是外接圆的直径，O是圆心，的平分线交于点D．
（1）若的半径为5，，求．
（2）若，求．
（3）探究，直接写出三条线段之间的数量关系．
23．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x＝4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．
（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
【参考答案】
1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B
11．13或3
12．内
13．12
14．或
15．相切
16．（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2
17．解：（1）如图，连接，．
∵AB是的直径，弦于点，
∴，．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴与相切；
（2）解：∵与相切，
∴．
∵与相切
∴
∵
∴
∵，即
∴
∵，
∴
∴，
∵，，，
∴ ．
∴，
∴．
18．解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是的半径
∴直线与相切；
（2）∵AC是的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB
∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴．
19．（1）证明：∵D是的中点，
∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，
∴∠E＋∠CAE＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E＋∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠C，，
∴，
令长为，则长为，
在中，
∵AB＝10，
∴，
解得：，即AD＝6，
∵D是的中点，
∴CD＝AD＝6．
20．（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R－2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD=BC=．
∵OD2＋BD2=OB2，∴，
解得R=4．
∴OD=2，OB=4，
∴cos∠BOD=．
∴∠BOD=60°，
又OD⊥BC，OB=OC，得∠BOC=120 ，
∴劣弧BC=
21．（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD==4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP==3．
22．解：（1）∵圆O的半径为5，AB为直径，
∴AB=10，∠ACB=90°，
∵AC=6，
∴BC==8；
（2）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AD，BD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵DE⊥DC，
∴∠E=45°，
∴DE=DC，
∵∠CDE=∠CDB+∠BDE=90°，∠ADB=∠CDB+∠CDA=90°，
∴∠BDE=CDA，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
∴AC=BE，
∴CE=CB+BE=AC+BC=10，
在△CDE中，，
即，
∴CD=；
（3）由（2）可知：
，
即，
∴．
23．解：（1）①∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，1），如图，
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为3和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为3×1=3；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形，
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
∴C（4，3）或（4，-3），
当点C在x轴上方时，设直线AC的解析为：y=kx+b，
把A，C坐标分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析为：y=x-1，
当点C在x轴下方时，直线AC的解析为：y=kx+b，
把A，C坐标分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析为：y=-x+1，，
综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=-x+1或y=x-1；
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵点M，N的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k=±1，
∵点N在⊙O上，
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“衍生矩形”为正方形，
当k=1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，
把M（m，4）代入y=x+b，
∴b=4-m，
∴直线MN的解析式为：y=x+4-m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2），
同理可得：B（0，-2），
∴令x=0代入y=x+4-m，
∴y=4-m，
∴-2≤4-m≤2，
∴2≤m≤6，
当k=-1时，把M（m，4）代入y=-x+b，
∴b=4+m，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4+m，
同理可得：-2≤4+m≤2，
∴-6≤m≤-2；
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：2≤m≤6或-6≤m≤-2