2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理（2）课件（19张ppt）

(共19张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理 （2）
复习巩固:
1.余弦定理：
2. 余弦定理的推论：
3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型：
(1) 已知三边解三角形．
(2) 已知两边及一角解三角形．
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在 ABC中, 设∠A的对边为a, ∠B的对边为b, 如何求A, B, a, b之间的定量关系.
为方便，不妨假设 ABC为直角三角形，以此来分析三角形边角的定量关系.
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论. 实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为:
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决：
“在△ABC中，已知A, B, a, 求b”的问题.
思考 对锐角三角形和钝角三角形，上式是否仍然成立？
问题：如图示，在Rt△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，那么△ABC中边角之间有何定量关系？
如图示，在Rt△ABC中，
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.
我们希望获得△ABC中的边a, b, c与它们所对角A, B, C的正弦之间的关系式. 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
锐角三角形情形：
因此
钝角三角形情形：
因此
正弦定理
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
正弦定理可以解决：
（1）已知两角和一边，解三角形；
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形.

正弦定理的变形：
例7 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形.
由正弦定理，得
解1：由三角形内角和定理，得 C=120°.
例7 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形.
设△ABC的外接圆半径为R，则有
解2：由三角形内角和定理，得 C=120°.
例8 在△ABC中，已知 解这个三角形.
由三角函数的性质可知，在区间(0，π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
练习
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由正弦定理，得
1. 完成下列解三角形问题 (角度精确到1°，边长精确到1 cm):
(1) 在△ABC中，已知A = 60°，B = 45°，c = 20 cm；
(2) 在△ABC中，已知a = 20 cm，b = 11 cm，B = 30°.
练习
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1. 完成下列解三角形问题 (角度精确到1°，边长精确到1 cm):
(1) 在△ABC中，已知A = 60°，B = 45°，c = 20 cm；
(2) 在△ABC中，已知a = 20 cm，b = 11 cm，B = 30°.
练习
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练习
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课堂检测：
B
D
小结:
1. 正弦定理：
2. 正弦定理可以解决：
（1）已知两角和一边，解三角形；
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形.
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
作业：
课本P52习题6.4第7,10,17,18题