2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2导数的极值与最大（小）值学案

导数的极值与最值学案
知识讲解
考点1 用导数研究函数的极值
函数的极值与导数
(1) 函数极值的定义
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．
(2) 求函数极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．
②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．
考点2 利用导数求函数的最值
函数的最值
(1) 最大值与最小值的概念
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．
(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．
考点3 函数极值与最值的综合问题
1.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.
2.可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
3.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
4.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.
一、例题精析
【例题1】
【题干】函数的图像如图所示，则函数的图像可能是
A. B.
C. D.
【例题2】
【题干】 若函数，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
【例题3】
【题干】已知函数.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.
【例题4】
【题干】已知函数.
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值， x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.
【例题5】
【题干】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
二、课堂运用
基础
1.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2.已知a为函数的极小值点，则a=
（A）–4 （B）–2 （C）4 （D）2
3.已知函数，则的极大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
4.函数的最大值为( )
A. e-1 B. e C. e2 D.
5.已知函数在内存在最小值，则的取值范围为__________．
6.若在x=1和x=2处有极值，则a=_____，b=_____．
7.函数在处有极值10，则的值为__________．
8.已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
（2）讨论函数的单调性.
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