中小学教育资源及组卷应用平台
17.2勾股定理的逆定理（1）教案
课题 17.2勾股定理的逆定理（1） 单元 第17单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重点 探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点 归纳猜想出命题2的结论．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形． 画画看 如果三角形的三边长分别为： ①5,12,13; 问题 1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？下面是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？① 5,12,13满足52+122=132,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？∵32+42=52，∴满足.问题3 据此你有什么猜想呢 由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.证一证:已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 思考自议探究勾股定理的逆定理。 掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
讲授新课 提炼概念勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.特别说明： 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.三、典例精讲例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15.解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系． 归纳猜想出命题2的结论．
课堂检测 四、巩固训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 1.B2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.A3.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（1）内错角相等，两条直线平行.成立（2）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立（3）对应角相等的三角形全等 .不成立（4）在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状。解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角5、m，n是正整数，则以：m2－n2，2mn，m2＋n2为三边长的三角形是直角三角形吗？解：∵ (m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4(2mn)2＝4m2n2∴ (m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形。
课堂小结 课堂总结1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.3、已学过的直角三角形的判定方法：（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理4、勾股定理与勾股定理的逆定理的 区别与联系：区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。联系：二者互为逆定理
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
17.2勾股定理的逆定理（1）学案
课题 17.2勾股定理的逆定理（1） 单元 第17单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重点 探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点 归纳猜想出命题2的结论．
教学过程
导入新课 【引入思考】同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形． 画画看 如果三角形的三边长分别为： ①5,12,13; 问题 1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？面是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.证一证:已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形．
新知讲解 提炼概念 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.特别说明： 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.典例精讲 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15.
课堂练习 巩固训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状。5、m，n是正整数，则以：m2－n2，2mn，m2＋n2为三边长的三角形是直角三角形吗？答案引入思考提炼概念典例精讲 例1 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.巩固训练1.B2.A3.（1）内错角相等，两条直线平行.成立（2）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立（3）对应角相等的三角形全等 .不成立（4）在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立4.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角5.解：∵ (m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4(2mn)2＝4m2n2∴ (m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形。
课堂小结 小课堂总结1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.3、已学过的直角三角形的判定方法：（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理4、勾股定理与勾股定理的逆定理的 区别与联系：区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。联系：二者互为逆定理
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
人教版 八年级下
17.2勾股定理的逆定理（1）
新知导入
情境引入
前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
合作学习
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看 如果三角形的三边长分别为：
5,12,13;
问题 1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足以上关系吗？
∵32+42=52，∴满足.
5,12,13满足52+122=132,
a2+b2=c2
问题2 能构成直角三角形的边长，在数量关系上有什么相同点？
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
则
A
C
a
B
b
c
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
提炼概念
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，
最长边所对应的角为直角。
典例精讲
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，
根据勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
归纳概念
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,
那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个
叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
课堂练习
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
B
2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
3.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状。
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角
5. m，n是正整数，则以：m2－n2，2mn，m2＋n2为三边长的三角形是直角三角形吗？
解：∵ (m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4
(m2－n2)2＝m4－2m2n2＋n4
(2mn)2＝4m2n2
∴ (m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2
根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形。
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
作业布置
教材课后配套作业题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
