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17.2勾股定理的逆定理（2）教案
课题 17.2勾股定理的逆定理（2） 单元 第17单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的概念。3.能利用勾股定理的逆定理解决实际问题。
重点 勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．
难点 理解互逆定理的概念．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题问题1 我们学过的勾股定理的内容是什么？如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么a2＋b2＝c2.问题2 勾股定理的逆定理的内容是什么？如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 思考自议理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法． 回顾思考
讲授新课 提炼概念解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.三、典例精讲.例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ 2＋PR 2＝ QR2，∴∠QPR＝ 90°由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1＝45°,∴∠2＝ 45°，即“海天”号沿西北方向航行.勾股定理逆定理解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 掌握解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
课堂检测 四、巩固训练1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.65°A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？解：∵ BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向． 3. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？ 4.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海 5.点A是一个圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B 、C 两个村庄,现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园 解：在△ABC中∵AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°过点A作AD⊥BC交BC于点D.∴AD=480∵ 480>400∴这条公路不会穿过自然保护区.
课堂小结 课堂总结（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及其逆定理的用途及用法，你能说说吗？（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？
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17.2勾股定理的逆定理（2）学案
课题 17.2勾股定理的逆定理（2） 单元 第17单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的概念。3.能利用勾股定理的逆定理解决实际问题。
重点 勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．
难点 理解互逆定理的概念．
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1 我们学过的勾股定理的内容是什么？问题2 勾股定理的逆定理的内容是什么？
新知讲解 提炼概念 解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.典例精讲 例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
课堂练习 巩固训练1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ 3. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？4.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海 5.点A是一个圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B 、C 两个村庄,现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园 答案引入思考问题1 我们学过的勾股定理的内容是什么？如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么a2＋b2＝c2.问题2 勾股定理的逆定理的内容是什么？如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．提炼概念典例精讲 分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ 2＋PR 2＝ QR2，∴∠QPR＝ 90°由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1＝45°,∴∠2＝ 45°，即“海天”号沿西北方向航行.巩固训练65°2.解：∵ BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．3.4.5.解：在△ABC中∵AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°过点A作AD⊥BC交BC于点D.∴AD=480∵ 480>400∴这条公路不会穿过自然保护区.
课堂小结 小
课堂总结（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及其逆定理的用途及用法，你能说说吗？（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？
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人教版 八年级下
17.2勾股定理的逆定理（2）
新知导入
情境引入
思考：前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗
a2+b2=c2
(a,b为直角边，c斜边）
Rt△ABC,∠C是直角
a2+b2=c2
(a,b为较短边，c为最长边）
Rt△ABC，且∠C是直角.
合作学习
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
1
2
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
典例精讲
思考1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
思考2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航向所成角.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的应用
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,由勾股定理的逆定理知：∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
归纳概念
归纳：如何有效解决实际问题。
1、构建对应几何图形。
2、标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求。
3、应用数学知识解决问题。
课堂练习
1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
2. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，
∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
3. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？
3
4
12
13
┐
∵CD=13 , BC=12
∴∠DBC=90°
在△BCD中
解：连接BD
∵AB=3，AD=4
∴BD= =5
∴CD2=BC2+BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= ×3×4+ ×5×12=36
答：这个零件的面积是36 dm2。
在Rt△ABD中
3
4
12
13
┐
5
4.如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
综合演练
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有
BC·AB= AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=
在Rt△BCD中，由勾股定理知
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
东
北
P
A
B
C
Q
D
5.点A是一个圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B 、C 两个村庄,现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园
1000
600
800
B
C
A
公园半径为400m
影响因素：
1.公园的半径
2.点A到公路的距离
D
过点A作AD⊥BC交BC于点D.
∴这条公路不会穿过自然保护区.
∴AD=480
解：在△ABC中
∵AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°
∵ 480>400
1000
600
800
A
B
C
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
作业布置
教材课后配套作业题。
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